In due precedenti articoli sul tema dei controllori PID abbiamo parlato rispettivamente di

1) come funziona un regolatore ad azione proporzionale-integrale-derivativa e della matematica che ne costituisce la teoria di funzionamento ;

2) perché questi regolatori industriali abbiano trovato una grande diffusione, ovvero la semplicità di taratura e funzionamento e la loro grande diffusione. Questa grande diffusione ha, a sua volta, fatto scendere il costo grazie all'economia di scala, rispetto a controllori appositamente costruiti sul processo, e ha anche fatto si che un largo numero di tecnici sia in grado di utilizzarli ed effettuarne la taratura , richiedendo un livello di specializzazione inferiore rispetto alla progettazione di sistemi di controllo dedicato.

In questo articolo toccheremo con mano come è fatto un regolatore PID di quelli che si possono trovare in commercio, prendendo come esempio il Regolatore PID PCE-RE110P a 2 canali .

Prima un breve riassunto delle puntate precedenti : questi regolatori devono il loro nome all’acronimo che deriva dalle leggi di controllo che utilizzano, cioè azione Proporzionale, azione Integrale, azione Derivativa. Il PID infatti utilizza queste azioni per il suo funzionamento e regola l'uscita in base a:

• il valore del segnale di errore (azione proporzionale);
• i valori passati del segnale di errore (azione integrale);
• quanto velocemente il segnale di errore varia (azione derivativa).

Il regolatore PID quindi acquisisce in ingresso un valore da un processo e lo confronta con un valore di riferimento. La differenza, e cioè il cosiddetto segnale di errore, viene quindi usata per determinare il valore della variabile di uscita del controllore, che è la variabile manipolabile del processo. Possono essere applicati ai più svariati ambiti, dal controllo di una portata di un fluido alla regolazione della temperatura, dalla movimentazione di un braccio robotico al controllo di un freno per i banchi prova motori.  Questi dispositivi infatti, per mezzo di dispositivi di correzione (manopole o software di ausilio), permettono di regolare i parametri del sistema di controllo entro certi limiti. Per questo motivo la funzione di controllo esercitata dai PID risulta di fondamentale importanza (per esempio negli impianti chimici e petrolchimici), sia per i costi bassi di implementazione ma anche perché permette di unificare i meccanismi di controllo dell’impianto.

Analizziamo in questa sede in regolatore PID prodotto e commercializzato da PCE Instruments. Si tratta del Regolatore PID a 2 canali PCE-RE110P. Questo regolatore PID viene utilizzato principalmente per la regolazione della temperatura e dei processi. I vari collegamenti di ingresso e uscita incorporati nel regolatore PID consentono infatti di usare questo dispositivo in modo versatile. Vediamone di cosa dispone:

• 2 canali con differenti uscite di regolazione
• 2 ingressi analogici di regolazione
• regolazione programmata
• uscite con un relè integrato di commutazione e un relè SSR che può essere usato per impostare un allarme, in modo da ricevere un avviso in caso di anomalia;
• 4 ingressi digitali e alimentazione del sensore;
• display LCD a colori da 3.5'' , attraverso il quale è possibile visualizzare i valori nominali nel del regolatore; le impostazioni possono essere effettuate attraverso i tasti presenti sulla parte frontale;
• funzioni integrate di auto-ottimizzazione e AUTO-PID che consentono di definire i parametri di regolazione ottimali;
• funzione Soft-Start e una regolazione On/Off , delle quali il regolatore a 2 canali è stato dotato per evitare problemi all'inizio di un processo di regolazione, in modo da escludere repentinamente il regolatore in caso di problemi
• integra una interfaccia RS-485 Modbus RTU per il trasferimento dei dati a un sistema di processi;
• Installazione su pannello da 92 x 92 mm;
• Alimentazione: 90 ... 250 V AC
• Condizioni operative 0 ... 50 °C / max. 80% U.R.
• Grado di protezione frontale IP65
• Grado di protezione posteriore IP20 ( in fondo all'articolo, la vista posteriore e laterale del regolatore )
• Dimensioni 96 x 96 x 81 mm
• Dimensioni per installazione su pannello 92 x 92 mm
• Peso Circa 400 g
• Potenza assorbita : 7 VA

- 

Di seguito sono riportati alcuni testi di riferimento per approfondire , sia in formato cartaceo che tramite e-book ( libri elettronici ) , i sistemi di controllo e il corso di Controlli Automatici . Cliccando sul link si possono consultare anche le recensioni di altri studendi che li hanno utilizzati , orientandosi nella scelta del libro più adatto alle proprie esigenze ( per alcuni titoli c'è anche la possibilità di acquistare libri usati ) :

Libri cartacei :

Controlli automatici
Autore: Giovanni Marro
Editore: Zanichelli

Fondamenti di controlli automatici
Autori: Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni
Editore: Mc Graw Hill

Fondamenti di controlli automatici. Ediz. MyLab.
Con Contenuto digitale per download e accesso on line
Autori: Katsuhiko Ogata, Luigi Biagiotti
Editore: Pearson


Fondamenti di Automatica
Autori: Michele Basso,Luigi Chisci,Paola Falugi
Casa Editrice: CittàStudi

Lezioni di automatica
Autori: Francesco Basile, Pasquale Chiacchio
Editore: Maggioli Editore

 
Fondamenti di automatica. Esercizi. Ediz. MyLab. Con Contenuto digitale per accesso on line
Autori: Maria Prandini, Alessandro V. Papadopoulos
Editore: Pearson

Introduzione ai controlli automatici
Autori: Augusto Ferrante,Antonio Lepschy,Umberto Viaro
Editore: CittàStudi

I regolatori PID sono tra i primi algoritmi di controllo introdotti nell'automazione di processo eppure , nonostante i grandi progressi tecnologico , continuano ad avere un grande successo commerciale ed una grande diffusione.

Quali sono i motivi di questo successo e di questa longevità ? Vediamone alcuni :

1) Sono semplici da utilizzare e da configurare , perché nella forma base è necessario configurare solo tre parametri

2) L'algoritmo si può implementare con componenti meccanici , idraulici , pneumatici ed ovviamente elettronici , sia analogici a tempo continuo che digitali a tempo discreto. 

3) Nonostante la semplicità , sono comunque efficace nel controllo di molti processi industriali che non chiedono elevate prestazioni ( termoregolazione , chimica , industria alimentare , ecc )

4) Non necessitano della conoscenza del modello del processo da controllare , che è invece importante nella sintesi di algoritmi di controllo più complessi

5) Analogamente al punto 4 , le migliori prestazioni dei sistemi di controllo più complessi sono spesso vanificate dall'impiego di sensori e trasduttori non sufficientemente precisi , rumore , non linearità ed usura degli attuatori

6) L'elevata diffusione ha portato a :

6A) abbassamento dei prezzi , con relativo innalzamento del rapporto qualità/prezzo

6B) possibilità di trovarli già integrati a bordo di altri componenti di automazione quali Inverter , PLC , termoregolatori , già pronti per essere montati su guida DIN e quadri 

6C) larga conoscenza dell'algoritmo e delle tecniche di taratura , che ne permette la configurazione anche da parte di tecnici con medie conoscenze di informatica ed elettronica

7) possibilità , nonostante la semplicità , di realizzare anche sistemi di controllo più complessi integrando i blocchi PID in configurazioni più complesse : PID a parametri variabili , controllo adattativo , controllo predittivo , controllo in cascata , ecc

--> Clicca qui per la bibliografia

Fisica realizzabilità del controllore

Supponiamo di aver assegnato , a partire dalle specifiche di progetto , una W(s) desiderata per il sistema a ciclo chiuso e di aver calcolato, in base alle relazioni del paragrafo precedente, la F(s) che da luogo a tale f.d.t. Supponiamo che l'andamento in frequenza della F(s) così ottenuta sia quello indicato in figura 1:

Essendo F(s)=P(s)*G(s) nel caso di reazione unitaria e F(s)=G(s)*P(s)*H(s) nel caso di reazione dinamica , anche il controllore G(s) resta automaticamente determinato. Poniamoci ad esempio nel caso di sintesi ad un grado di libertà ed andiamo a considerare la relazione fra i moduli delle f.d.t. in gioco:

e a seconda del processo che dobbiamo controllare, ci possiamo trovare in una delle due seguenti situazioni :  a) l'andamento di |P(jw)| , alle alte frequenze, si trova al di sopra di |F(jw)| ( curva verde in figura 2 ) , quindi G(s) ha un comportamento di tipo passa-basso ed è fisicamente realizzabile. b) l'andamento di |P(jw)| , alle alte frequenze , si trova al di sotto di |F(jw)| ( curva blu in figura 2 ) , quindi G(s) ha un andamento passa alto e non è fisicamente realizzabile.

Si dovrà quindi provvedere ad effettuare preventive verifiche sulla P(s) in modo da non trovarsi nella situazione di fisica irrealizzabilità , modificando eventualmente le aspettative sulla W(s) e/o sulla Wz(s) ( un ragionamento analogo a quello sulla G(s) vale infatti per la K(s) della sintesi a compensazione diretta ). Si può dimostrare che delle condizioni da rispettare per non trovarsi in questa situazione sono :  1)  per quanto riguarda la W(s) ; m ed n sono rispettivamente il grado del numeratore e del denominatore della funzione di trasferimento a ciclo chiuso , mentre mp ed np sono rispettivamente il grado del numeratore e del denominatore del processo , quindi tale condizione equivale a chiedere che l'eccesso poli-zeri della W(s) sia almeno pari all'eccesso poli-zeri del processo.  2)  per quanto riguarda la Wz(s) ; il significato fisico di tale condizione è evidente : non si può chiedere ad un sistema di controllo di attenuare ( |Wz(s)|<1 ) gli effetti del rumore a tutte le frequenze.

--> Clicca qui per la bibliografia

--> Clicca qui per la bibliografia

Sintesi diretta di un sistema di controllo a tempo continuo

I metodi di sintesi per tentativi si possono annoverare fra le tecniche "classiche" dei controlli automatici, orientate ai sistemi a tempo continuo e sviluppate quando le potenze di elaborazione dei calcolatori elettronici erano tali da far preferire strumenti grafici, come la carta di Nichols e il luogo delle radici , ad elevate moli di calcoli.  Con la maggiore diffusione della progettazione assistita dal calcolatore , e soprattutto con il prevalere dei sistemi a controllo digitale diretto , queste tecniche hanno via via lasciato spazio a tecniche dirette , di carattere meno intuitivo e più algoritmico , come ad esempio il metodo delle equazioni diofantine che vedremo più avanti. Come conseguenza si è notata una maggiore diffusione delle tecniche dirette anche nella sintesi dei sistemi a tempo continuo : ne presenteremo ora una che si può utilizzare sotto opportune condizioni di fisica realizzabilità e che si articola nelle seguenti fasi :  1) scelta , in base alle specifiche di progetto e alla funzione di trasferimento del processo da controllare , dello schema a blocchi complessivo e della funzione di trasferimento a ciclo chiuso desiderata ( ingresso/uscita e/o disturbo/uscita ) ; 2) calcolo della funzione di trasferimento del controllore G(s) e degli eventuali blocchi aggiuntivi H(s) ( blocco per la reazione dinamica ) o K(s) ( blocco per la compensazione diretta del disturbo ). Va comunque sottolineato che , mentre la seconda fase è davvero puramente algoritmica, nella prima fase , una volta individuata la struttura della W(s) ( e/o della Wz(s) ) la ricerca dei parametri opportuni che soddisfino le specifiche di progetto può essere effettuata mediante aggiustamenti e verifiche progressive che ricordano molto da vicino la sintesi per tentativi. Sintesi ad un grado di libertà Se le specifiche di progetto riguardano esclusivamente il comportamento ingresso uscita , si può utilizzare uno schema a controreazione statica , che per semplicità considereremo unitaria , come quello indicato in figura 1. Sappiamo che fra funzione di trasferimento I/O a ciclo chiuso e funzione ad anello aperto sussiste la relazione : , dove si è tenuto conto del fatto che la F(s) ingloba sia la f.d.t. del processo F(s) che quella del controllore G(s): Il progettista non può agire , in generale , sulla P(s) del processo , e si limiterà quindi al calcolo della G(s) desiderata come : Sintesi a due gradi di libertà La G(s) calcolata col metodo precedente determina univocamente il comportamento ingresso uscita del sistema a ciclo chiuso , che sarà caratterizzato dalla funzione di trasferimento : Se vi sono anche specifiche di progetto sul comportamento disturbo/uscita , ci si può trovare in due situazioni distinte :   1) la Wz(s) ottenuta soddisfa , casualmente , le richieste sul comportamento rispetto ai disturbi   2) la Wz(s) non soddisfa le specifiche richieste. Ovviamente è questa la situazione generale , mentre la 1) è da ritenersi più che altro come un caso fortunato. In questo caso si deve passare dallo schema a retroazione statica ad uno schema più complesso , che fornisca al progettista i gradi di libertà necessari a soddisfare le due richieste indipendenti. Una possibile soluzione consiste nell'introdurre , sul ramo di reazione , un blocco dinamico caratterizzato dalla f.d.t. H(s) , come indicato nello schema a blocchi di figura 2. Le funzioni di trasferimento a ciclo chiuso ingresso/uscita e disturbo/uscita , che dovranno essere imposte nella prima fase della sintesi , risultano pertanto : Nella seconda fase non resta quindi che calcolare il controllore G(s) e il blocco di reazione H(s) che , combinati , danno luogo alla W(s) e alla Wz(s) desiderate: Una soluzione alternativa consiste invece nell'adottare lo schema ibrido con compensazione diretta del disturbo z(s) , come mostrato in figura 3. La funzione di trasferimento del blocco di compensazione K(s) non entra nella relazione ingresso/uscita ( per la sovrapposizione degli effetti ) , quindi la G(s) si calcola come sopra , mentre per quanto riguarda la funzione di trasferimento disturbo/uscita si ha: Pertanto , una volta calcolato il controllore a partire dalla W(s) desiderata, si aggiusta K(s) in modo che anche il comportamento rispetto al disturbo sia quello desiderato: Limiti di applicazione della sintesi diretta I limiti di questo metodo sono dovuti alla filosofia stessa della sintesi diretta , che agisce sulla funzione di trasferimento a ciclo chiuso senza tener conto delle caratteristiche del processo : è compito del progettista assicurarsi che la W(s) , assegnata per soddisfare le specifiche di progetto , sia compatibile con l'espressione della P(s) che si trova di fronte caso per caso. Nella sintesi per tentativi questo non può accadere perché si progetta "indirettamente" la W(s) , agendo sulla funzione di trasferimento in catena aperta F(s) che contiene al proprio interno la P(s) stessa.  In termini pratici queste considerazioni danno luogo a due problemi distinti per il progettista: 1) problemi di fisica realizzabilità del controllore G(s) 2) presenza di un sottosistema non osservabile ma instabile ( instabilità interna ) nel sistema a ciclo chiuso , dovuto a cancellazioni di poli a parte reale positiva del processo. Clicca qui per la bibliografia

--> Clicca qui per la bibliografia

--> Clicca qui per la bibliografia

Risposta a regime permanente di un sistema retroazionato a disturbi costanti   La trattazione della fedeltà di risposta rispetto ai disturbi agenti sul sistema può essere impostata in maniera formalmente analoga alla fedeltà rispetto agli ingressi di controllo. Basta infatti considerare, in luogo della funzione di trasferimento ingresso uscita  , la funzione di trasferimento disturbo/uscita  e tenere presente che l'uscita desiderata rispetto al disturbo è nulla (  ) : si vorrebbe infatti che il sistema di controllo fosse insensibile ai disturbi , che questi , cioè, non producessero alcun effetto sull'uscita.  Ci si è quindi ricondotti a un sistema di controllo proporzionale con costante desiderata nulla ( Kzd=0 ) , che ci porta a considerare la seguente funzione di trasferimento per il sistema errore: . E' il caso di notare che la "proporzionalità" riguarda la relazione causa-effetto fra disturbo ed uscita e resta anche nel caso in cui , sul ramo di reazione , sia presente una dinamica H(s). Quanto verrà detto in seguito , quindi , varrà anche per sistemi che non hanno sul ramo di reazione un termine costante.
Per semplificare, però , non tratteremo il caso di disturbi polinomiali di grado k arbitrario , ma solo il caso di disturbi costanti , che possono essere visti come un polinomio canonico di ordine zero. Classificheremo quindi i sistemi di controllo in due categorie:  1) sistemi di controllo astatici , se la risposta a regime rispetto al gradino è nulla. L'astatismo racchiude, in pratica , i sistemi di tipo uno , due, ecc, rispetto ai disturbi. 2) sistemi di controllo statici , se la risposta a regime rispetto al gradino tende a un valore costante non nullo. I sistemi statici sono sistemi di tipo zero rispetto al disturbo.
L'altra distinzione impostante che caratterizza la trattazione della fedeltà di risposta riguarda il punto di ingresso del rumore. Tratteremo sempre disturbi additivi e sistemi a controreazione , per cui la casistica prevede:  a) disturbo additivo in uscita b) disturbo additivo in catena diretta c) disturbo additivo sul ramo di reazione
Risposta a regime per rumore additivo in uscita
Il punto di ingresso del disturbo nello schema complessivo è indicato in figura 1. In figura 2 è invece mostrato lo schema che viene utilizzato per il calcolo della Wz(s) : per la sovrapposizione degli effetti non si è considerato l'ingresso di controllo u(s).

--> Clicca qui per la bibliografia

--> Clicca qui per la bibliografia

La Fedeltà di risposta di un sistema di controllo Dopo la stabilità , analizziamo l'altro fondamentale requisito che un sistema di controllo deve soddisfere : la fedeltà di risposta. La si è definita nel paragrafo 2.1 come la capacità del sistema di produrre uscite conformi a quelle desiderate . Dalla definizione stessa si intuisce che questo argomento necessita una trattazione molto ampia , perché vi sono molti aspetti da tenere in considerazione. Considerando ad esempio le cause che influenzano l'uscita del sistema , si distingue fra: 1) fedeltà di risposta rispetto agli ingressi di controllo 2) fedeltà di risposta rispetto ai disturbi 3) fedeltà di risposta rispetto alle variazioni parametriche ( vedi sensibilità ) Considerando invece il comportamento del sistema di controllo e i suoi tempi di risposta, si ottiene la seguente classificazione della fedeltà di risposta : a) fedeltà a regime permanente b) fedeltà in regime transitorio Vanno infine scelte particolari classi di ingressi rispetto ai quali caratterizzare le proprietà del sistema , non potendo ovviamente considerare tutti i possibili stimoli che si troverebbero ad agire sui sistemi reali. Le classi scelte in questa sede sono : - gli ingressi polinomiali e sinusoidali per la risposta a regime - il gradino per la risposta transitoria
Definizione del sistema errore
La fedeltà di risposta si quantifica a partire dallo scostamento fra uscita desiderata ed uscita effettiva del sistema : il primo passo per l'analisi di questa proprietà consiste nel definire il sistema errore , ovvero un sistema fittizio la cui uscita corrisponde allo scostamente fra uscita desiderata ed uscita effettiva . Definendo tale scostamento ( l'errore, appunto ) come :  e pensando l'uscita desiderata come l'uscita di un sistema desiderato Wd(s) :  , la funzione di trasferimento del sistema errore è la seguente : e lo schema a blocchi corrispondente è indicato in figura 1.
In seguito si tratteranno sistemi di controllo proporzionali, in cui cioè l'uscita deve seguire l'ingresso secondo un fattore di proporzionalità kd , per cui Wd(s)=kd e la funzione di trasferimento del sistema errore è :
Fedeltà a regime permanente per ingressi polinomiali
La teoria dei sistemi ci dice che , per poter parlare di risposta a regime permanente di un sistema lineare stazionario di ordine finito è necessario che il sistema stesso sia asintoticamente stabile. in questo caso esiste risposta a regime per un ingresso del tipo: , detto polinomio canonico , è un polinomio completo esprimibile nella forma : . I coefficienti Ci corrispondono con i coefficienti dello sviluppo in serie di Mc Laurin della funzione di trasferimento W(s) , valutati in s=0 per il teorema del valore finale:  Riscrivendo l'espressione per il sistema errore otteniamo la seguente risposta a regime : dove il coefficienti di errore si calcolano in maniera analoga: La forma assunta da tali coefficienti , che sono legati alle derivate in s della f.d.t. del sistema errore , permettono di dimostrare la seguente proposizione:  PROPOSIZIONE 1: Se un sistema di controllo proporzionale risponde a regime con errore costante ad un polinomio canonico di ordine k , la sua risposta presenta errore nullo per ingressi canonici di ordine inferiore ed errore illimitato per ingressi canonici di ordine superiore . Questa proprietà è di fondamentale importanza per definire il tipo di un sistema di controllo.  DIMOSTRAZIONE : Chiedere che l'errore a regime sia costante e non nullo equivale a imporre le seguenti condizioni sui coefficienti di errore: . Se a questo punto andiamo a scrivere l'espressione dell'errore a regime per ingressi canonici di ordine k+1 e k-1, otteniamo che:  a) l'errore rispetto all'ingresso canonico di ordine k-1 è nullo, perché si tratta di un polinomio completo con tutti i coefficienti nulli:  b) l'errore rispetto all'ingresso canonico di ordine k+1 è divergente , essendo caratterizzato dall'espressione : , in cui � presente il termine divergente: .
Definizione di tipo di un sistema di controllo
Un sistema di controllo proporzionale si dice di ordine k se la risposta a regime permanente  all'ingresso a regime  differisce dall'andamento desiderato  per una quantità costante non nulla.  L'esistenza di un solo valore k che distingue fra i 3 possibili comportamenti ( errore nullo , errore costante, errore divergente ) è assicurata dalla proposizione 1 : se la proposizione non fosse valida e il comportamento non fosse così regolare al crescere dell'ordine dell'ingresso , non avrebbe senso la definizione stessa di tipo del sistema.  In termini pratici, risulta interessante studiare sistemi di tipo zero, tipo uno e , al massimo sistemi di tipo 2. Ha poco senso ,infatti, considerare sistemi di tipo arbitrariamente grande , principalmente per due motivi : 1) perché gli ingressi con cui vengono stimolati i sistemi reali appartengono a un numero ristretto di classi . Tralasciando per ora gli stimoli sinusoidali, che verranno trattati a parte, la maggior parte degli ingressi nei sistemi di controllo reali si possono ottenere con sovrapposizioni di :
1a)	gradini , ovvero tratti ad andamento costante : i sistemi che forniscono errore a regime nullo per ingresso a gradino sono i sistemi di tipo zero.
1b)	rampe , ovvero tratti a pendenza costante : i sistemi che forniscono errore a regime nullo per rampe sono i sistemi di tipo uno.
1c)	parabole : i sistemi che forniscono errore a regime per ingressi parabolici sono i sistemi di tipo due.
2) Per questioni di stabilità. Si vedrà infatti nella prossima pagina che, per aumentare il tipo di un sistema di controllo in controreazione, è necessario introdurre integratori in catena diretta , che avvicinano il sistema al limite dell'instabilità. Si può quindi affermare che stabilità e fedeltà di risposta sono due esigenze contrastanti ed è compito del progettista trovare il giusto compromesso.

--> Clicca qui per la bibliografia

Sommario:

--> Clicca qui per la bibliografia

I diagrammi di Bode

1) fanno riferimento alla rappresentazione geometrica dei numeri complessi ( modulo e fase ) , mentre i diagrammi di Nyquist presentano sull'asse delle ascisse e su quello delle ordinate rispettivamente parte reale e parte immaginaria ( rappresentazione algebrica ) 2) presentano la frequenza ( o la pulsazione ) come variabile indipendente sull'asse delle ascisse , mentre nei diagrammi polari la pulsazione parametrizza la curva. Inoltre , per semplificare la rappresentazione grafica, l'asse delle ascisse ha scala logaritmica : con  da scegliere in base alle costanti di tempo del sistema da analizare ( solitamente 1 rad/s) . Anche l'asse delle ordinate , per il diagramma del modulo , ha scala logaritmica espressa in decibel : Nel diagramma della fase, invece , l'asse delle ordinate ha scala lineare e vi si riporta  in gradi o radianti.
Tracciare i diagrammi di Bode
A differenza dei diagrammi di Nyquist, i diagrammi di Bode si prestano abbastanza facilmente ad essere tracciati quantitativamente senza il ricorso a sistemi di calcolo automatico , grazie soprattutto a due semplificazioni:
1)	Il diagramma di Bode di una funzione di trasferimento si può costruire come sovrapposizione dei diagrammi di Bode dei singoli contributi : costante moltiplicativa, derivatori , integratori, poli e zeri semplici, coppie di poli e zeri complessi coniugati. Per la fase, come si è visto nella dimostrazione del lemma del mapping, vale la sovrapposizione degli effetti : se F(s) è nella forma  allora la fase della F(s) vale :   ; Per quanto riguarda il modulo, invece, la sovrapposizione degli effetti è dettata dall'utilizzo dei dB ; per le proprietà dei logaritmi , infatti , il prodotto dei moduli dei singoli contributi si traduce nella somma dei singoli contributi, espressi in dB :
2)	I diagrammi di Bode dei singoli contributi si possono tracciare in modo qualitativo con tratti spezzati, ricorrendo poi a dei diagrammi di correzione per risalire all'andamento quantitativamente corretto , mostrati in figura 1 per il caso di una coppia di zeri ( o poli , basta invertire l'asse delle ordinate ) complessi coniugati.
Di seguito sono riportati i diagrammi di Bode ( esatti ed approssimati , o asintotici ) dei singoli contributi che si possono presentare nel tracciare il diagramma complessivo di una qualsiasi funzione di trasferimento :
	costante moltiplicativa :  esprimendo F(s) come prodotto di fattori , la costante k da luogo ad un modulo in dB pari a e ad una fase che vale : a1) 0 se k>0 ( come mostrato con il tratto blu in figura 2 )  a2) -180° se k<0 ( come mostrato con il tratto rosso in figura 2)
	Zeri nulli :   ciascun derivatore da un contributo rettilineo ( su scala logaritmica ) per quanto riguarda il modulo , con pendenza pari a 20dB/decade e un contributo alla fase pari a 90° ; ricordando come si calcola il modulo di un numero complesso , si ha infatti :  ; ricordando invece come si calcola la fase, e notando che la parte reale del termine derivato è nulla, si ha :  . in figura 3 sono rappresentati un derivatore semplice in blu ( 20dB/dec e 90° ), un derivatore doppio in rosso ( 40dB/dec e +180° di sfasamento) e un triplo polo zero in verde ( 60dB/dec e 270° di sfasamento in anticipo ).
	poli nulli : con considerazioni simili a quelle viste per il derivatore, si può dimostrare che ciascun iintegratore contribuisce al modulo della funzione di trasferimento con un termine rettilineo a pendenza negativa di -20dB/decade e alla fase con un contributo costante di -90° ; in figura 3 sono rappresentati un integratore semplice in blu ( -20dB/dec e -90° ), un integratore doppio in rosso ( -40dB/dec e -180° di sfasamento) e un triplo polo nullo in verde ( -60dB/dec e -270° di sfasamento in anticipo ).
	zeri reali non nulli : in figura 6 sono riportati il contributo al modulo e alla fase di un zero reale non nullo ; in rosso è riportato l'andamento di uno zero negativo, in blu quello di uno zero positivo. In celeste è invece riportato l'andamento del diagramma di bode approssimato , detto anche diagramma di Bode asintotico, che approssima l'andamento della fase e del modulo con delle spezzate. I diagrammi asintotici approssimano con buona precisione i diagrammi reali alle alte frequenze e alle basse frequenze , mentre intorno alla frequenza naturale dello zero introducono un errore massimo di 3dB per il modulo e di 5.7° per la fase . Matematicamente le approssimazioni sono spiegate dai seguenti passaggi : l'espressione del modulo in dB è   , dove si è definito  , e: d1) alle basse frequenze  , per cui il modulo è pressoché nullo  d2) alle alte frequenze  e si è visto, analizzando il contributo del derivatore, che tale espressione corrisponde ad una pendenza positiva di 20dB/decade. L'espressione della fase è invece :  e : d1) alle basse frequenze  d2)alle alte frequenze   In caso di poli e zeri multipli , le pendenze del contributo del modulo e le fasi alle basse frequenze si sommano.
e)	poli reali non nulli : per i poli reali non nulli valgono considerazioni simili a quelle viste per gli zeri non nulli. In figura 7 sono riportati gli andamenti reali per polo negativo ( rosso ) e polo positivo ( blu ) , mentre in celeste è riportato il diagramma asintotico costruito mediante spezzate. Va notato che , mentre nel diagramma del modulo di uno zero non nullo, la spezzata resta costantemente al di sotto dell'andamento esatto , per cui la correzione da apportare è di +3dB in corrispondenza di  , nel diagramma del polo è l'andamento reale ad essere minorato dalla spezzata, per cui la correzione da apportare è di -3dB. Come per lo zero, inoltre, la pendenza della seconda spezzata si raddoppia nel caso di polo doppio ( -40dB/decade ) si triplica per per polo triplo ( -60dB/decade ), ecc..
	Rilevare margine di fase e margine di guadagno sui diagrammi di Bode
Come nei diagrammi di Nyquist, il margine di fase ed il margine di guadagno hanno un immediato significato geometrico anche nei diagrammi di Bode. A differenza dei diagrammi polari, però, nei diagrammi di Bode è più agevole valutare quantitativamente queste due grandezze. 1) Il margine di guadagno può essere valutato in due semplici passi, che sono rappresentati in figura 8: 1a) Si individua della pulsazione  , definita dall'equazione  , come intersezione fra il diagramma della fase e la linea tratteggiata verde in figura ;  1b) Si valuta , sul diagramma del modulo, l'ampiezza del segmento congiungente ( lungo la verticale ) l'asse 0dB (linea tratteggiata celeste ) con il diagramma stesso. Se il segmento è contenuto nel semipiano dB<0 , il margine è positivo, altrimenti il margine di guadagno è negativo. 2) Il margine di fase può essere può essere ricavato con una procedura simile :  2a) Si individua la pulsazione , definita in precedenza come  , dall'intersezione fra il diagramma del modulo e la linea tratteggiata celeste ( asse delle ascisse del primo diagramma , corrispondente ad una retta a modulo costante 0dB ) 2b) Si valuta l'ampiezza del segmento che congiunge , nel grafico della fase , il punto del diagramma in tale frequenza con la retta a fase costante -180° : il margine va considerato positivo se il punto si trova sopra la retta , negativo altrimenti.

--> Clicca qui per la bibliografia