Automazione Industriale - Controlli Automatici

I perché della larga diffusione dei regolatori PID

I regolatori PID sono tra i primi algoritmi di controllo introdotti nell'automazione di processo eppure , nonostante i grandi progressi tecnologico , continuano ad avere un grande successo commerciale ed una grande diffusione.

Quali sono i motivi di questo successo e di questa longevità ? Vediamone alcuni :

1) Sono semplici da utilizzare e da configurare , perché nella forma base è necessario configurare solo tre parametri

2) L'algoritmo si può implementare con componenti meccanici , idraulici , pneumatici ed ovviamente elettronici , sia analogici a tempo continuo che digitali a tempo discreto. 

3) Nonostante la semplicità , sono comunque efficace nel controllo di molti processi industriali che non chiedono elevate prestazioni ( termoregolazione , chimica , industria alimentare , ecc )

4) Non necessitano della conoscenza del modello del processo da controllare , che è invece importante nella sintesi di algoritmi di controllo più complessi

5) Analogamente al punto 4 , le migliori prestazioni dei sistemi di controllo più complessi sono spesso vanificate dall'impiego di sensori e trasduttori non sufficientemente precisi , rumore , non linearità ed usura degli attuatori

6) L'elevata diffusione ha portato a :

6A) abbassamento dei prezzi , con relativo innalzamento del rapporto qualità/prezzo

6B) possibilità di trovarli già integrati a bordo di altri componenti di automazione quali Inverter , PLC , termoregolatori , già pronti per essere montati su guida DIN e quadri 

6C) larga conoscenza dell'algoritmo e delle tecniche di taratura , che ne permette la configurazione anche da parte di tecnici con medie conoscenze di informatica ed elettronica

7) possibilità , nonostante la semplicità , di realizzare anche sistemi di controllo più complessi integrando i blocchi PID in configurazioni più complesse : PID a parametri variabili , controllo adattativo , controllo predittivo , controllo in cascata , ecc

Gli inverter e gli azionamenti dispongono sempre più spesso di algoritmi PID fra le loro funzioni
Gli inverter e gli azionamenti elettrici per motori dispongono sempre più spesso di algoritmi PID fra le loro funzioni
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Guida automazione : Cosa sono i controllori PID, il significato dell'azione proporzionale , integrale , derivativa.

I controllori PID sono algoritmi di regolazione da impiegarsi in sistemi di controllo ad anello chiuso , cioè a reazione negativa o in controreazione , dove l'ingresso di controllo è dato dalla somma di tre componenti : una Proporzionale , una Integrale ed una Derivativa . Dalle iniziali Proportional-Integral-Derivative si ottiene appunto l'acronimo PID che definisce il tipo di regolatore. 

In termini matematici , detto u(t) il segnale di controllo ed e(t) l'errore , cioè lo scostamento tra l'uscita desiderata e l'uscita rilevata all'istante t , l'espressione nel dominio del tempo del segnale prodotto dal regolatore PID è :

u(t) = Kp * [ e(t) + 1/Ti * ∫0-t ( e(x)*dx ) + Td * de(t)/dt ]

Kp è la costante proporzionale o guadagno
- Ti è la costante di tempo dell'azione integrativa
- Td è la costante di tempo dell'azione derivativa

Da questa relazione è evidente che un controllore PID può , mediante opportune scelte delle costanti , ridursi facilmente a un "controllore proporzionale P" ( Td=0 e Ti -->∞ ) , un "controllore proporzionale-integrativo PI" ( Td=0 ) , "controllore proporzionale-derivativo PD" ( Ti -->∞ ) .

Conoscendo il senso matematico delle funzione "derivata di" e "integrale di" , le tre azioni di controllo hanno un loro specifico significato :

- l'azione proporzionale tiene conto del valore attuale dell'errore . Una costante proporzionale alta farà si che l'azione di controllo sia grande anche in caso di errori piccoli , mentre una costante proporzionale bassa renderà meno rilevante il valore attuale dell'errore , privilegiando invece il valore che l'errore ha avuto in passato ( azione integrale ) e le dinamiche di variazione dell'errore nel tempo futuro ( azione derivativa ).

- l'azione integrale tiene appunto conto del valore assunto dall'errore nel passato. Considerando che la costante Ti sta a denominatore e che quindi la componente integrativa è determinata dal rapporto Ki=Kp/Ti , un valore basso di Ti ( cioè un rapporto Kp/Ti più alto , a parità di Kp ) farà si che l'azione di controllo sia rilevante in caso di un errore elevato nel passato , mentre un valore elevato di Ti tenderà ad abbassare il rapporto Kp/Ti , rendendo il segnale di controllo u(t) meno sensibile ai valori passati dell'errore , dando più rilevanza all'azione proporzionale ed , eventualmente ( dipende da Td ) , alle dinamiche future dell'errore

- l'azione derivativa è appunto quella che tiene conto delle variazioni dell'errore , cercando di compensare le dinamiche future dell'errore. In presenza di un Kd=Kp*Td elevato , l'azione di controllo sarà forte quando l'errore subisce delle variazioni , mentre in presenza di un valore basso di Td , l'errore sarà più insensibile alle variazioni , tenendo invece più conto del valore attuale e passato dell'errore. Una forte azione derivativa determina quindi una maggiore "prontezza" del sistema di controllo , soprattutto quando si deve inseguire un valore desiderato per l'uscita variabile e non un setpoint fisso. Per lo stesso motivo e per ragioni matematiche che vedremo più avanti , l'azione derivativa è anche quella che introduce maggiori rischi di instabilità per il sistema complessivo.

L'espressione dell'algoritmo PID utilizzando le costanti Ki e Kd in luogo delle costanti di tempo è la seguente :

u(t) = Kp * e(t) + Ki * ∫0-t ( e(x)*dx ) + Kd * de(t)/dt 

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Fisica realizzabilità di un sistema di controllo

Fisica realizzabilità del controllore

Supponiamo di aver assegnato , a partire dalle specifiche di progetto , una W(s) desiderata per il sistema a ciclo chiuso e di aver calcolato, in base alle relazioni del paragrafo precedente, la F(s) che da luogo a tale f.d.t. Supponiamo che l'andamento in frequenza della F(s) così ottenuta sia quello indicato in figura 1:
Figura 1: un possibile andamento per la F(s) ottenuta mediante sintesi diretta
Essendo F(s)=P(s)*G(s) nel caso di reazione unitaria e F(s)=G(s)*P(s)*H(s) nel caso di reazione dinamica , anche il controllore G(s) resta automaticamente determinato. Poniamoci ad esempio nel caso di sintesi ad un grado di libertà ed andiamo a considerare la relazione fra i moduli delle f.d.t. in gioco:
e a seconda del processo che dobbiamo controllare, ci possiamo trovare in una delle due seguenti situazioni : 
a) l'andamento di |P(jw)| , alle alte frequenze, si trova al di sopra di |F(jw)| ( curva verde in figura 2 ) , quindi G(s) ha un comportamento di tipo passa-basso ed è fisicamente realizzabile.
b) l'andamento di |P(jw)| , alle alte frequenze , si trova al di sotto di |F(jw)| ( curva blu in figura 2 ) , quindi G(s) ha un andamento passa alto e non è fisicamente realizzabile.
Figura 2 : due possibili situazioni in cui ci si può trovare nella sintesi diretta
Si dovrà quindi provvedere ad effettuare preventive verifiche sulla P(s) in modo da non trovarsi nella situazione di fisica irrealizzabilità , modificando eventualmente le aspettative sulla W(s) e/o sulla Wz(s) ( un ragionamento analogo a quello sulla G(s) vale infatti per la K(s) della sintesi a compensazione diretta ). Si può dimostrare che delle condizioni da rispettare per non trovarsi in questa situazione sono : 
1)  per quanto riguarda la W(s) ; m ed n sono rispettivamente il grado del numeratore e del denominatore della funzione di trasferimento a ciclo chiuso , mentre mp ed np sono rispettivamente il grado del numeratore e del denominatore del processo , quindi tale condizione equivale a chiedere che l'eccesso poli-zeri della W(s) sia almeno pari all'eccesso poli-zeri del processo. 
2)  per quanto riguarda la Wz(s) ; il significato fisico di tale condizione è evidente : non si può chiedere ad un sistema di controllo di attenuare ( |Wz(s)|<1 ) gli effetti del rumore a tutte le frequenze.
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Sintesi diretta di un sistema di controllo a tempo continuo

Sintesi diretta di un sistema di controllo a tempo continuo

I metodi di sintesi per tentativi si possono annoverare fra le tecniche "classiche" dei controlli automatici, orientate ai sistemi a tempo continuo e sviluppate quando le potenze di elaborazione dei calcolatori elettronici erano tali da far preferire strumenti grafici, come la carta di Nichols e il luogo delle radici , ad elevate moli di calcoli. 
Con la maggiore diffusione della progettazione assistita dal calcolatore , e soprattutto con il prevalere dei sistemi a controllo digitale diretto , queste tecniche hanno via via lasciato spazio a tecniche dirette , di carattere meno intuitivo e più algoritmico , come ad esempio il metodo delle equazioni diofantine che vedremo più avanti. Come conseguenza si è notata una maggiore diffusione delle tecniche dirette anche nella sintesi dei sistemi a tempo continuo : ne presenteremo ora una che si può utilizzare sotto opportune condizioni di fisica realizzabilità e che si articola nelle seguenti fasi : 
1) scelta , in base alle specifiche di progetto e alla funzione di trasferimento del processo da controllare , dello schema a blocchi complessivo e della funzione di trasferimento a ciclo chiuso desiderata ( ingresso/uscita e/o disturbo/uscita ) ;
2) calcolo della funzione di trasferimento del controllore G(s) e degli eventuali blocchi aggiuntivi H(s) ( blocco per la reazione dinamica ) o K(s) ( blocco per la compensazione diretta del disturbo ).

Va comunque sottolineato che , mentre la seconda fase è davvero puramente algoritmica, nella prima fase , una volta individuata la struttura della W(s) ( e/o della Wz(s) ) la ricerca dei parametri opportuni che soddisfino le specifiche di progetto può essere effettuata mediante aggiustamenti e verifiche progressive che ricordano molto da vicino la sintesi per tentativi.

Sintesi ad un grado di libertà

Se le specifiche di progetto riguardano esclusivamente il comportamento ingresso uscita , si può utilizzare uno schema a controreazione statica , che per semplicità considereremo unitaria , come quello indicato in figura 1.
Figura 1 : per la sintesi diretta ad un grado di libertà basta un sistema a retroazione statica
Sappiamo che fra funzione di trasferimento I/O a ciclo chiuso e funzione ad anello aperto sussiste la relazione :
, dove si è tenuto conto del fatto che la F(s) ingloba sia la f.d.t. del processo F(s) che quella del controllore G(s):
Il progettista non può agire , in generale , sulla P(s) del processo , e si limiterà quindi al calcolo della G(s) desiderata come :

Sintesi a due gradi di libertà

La G(s) calcolata col metodo precedente determina univocamente il comportamento ingresso uscita del sistema a ciclo chiuso , che sarà caratterizzato dalla funzione di trasferimento :
Se vi sono anche specifiche di progetto sul comportamento disturbo/uscita , ci si può trovare in due situazioni distinte :
  1) la Wz(s) ottenuta soddisfa , casualmente , le richieste sul comportamento rispetto ai disturbi
 
2) la Wz(s) non soddisfa le specifiche richieste. Ovviamente è questa la situazione generale , mentre la 1) è da ritenersi più che altro come un caso fortunato. In questo caso si deve passare dallo schema a retroazione statica ad uno schema più complesso , che fornisca al progettista i gradi di libertà necessari a soddisfare le due richieste indipendenti.
Una possibile soluzione consiste nell'introdurre , sul ramo di reazione , un blocco dinamico caratterizzato dalla f.d.t. H(s) , come indicato nello schema a blocchi di figura 2.
Figura 2 : una possibile soluzione , in presenza di specifiche sul comportamento rumore/uscita , consiste nell'introdurre dinamica sul ramo di reazione
Le funzioni di trasferimento a ciclo chiuso ingresso/uscita e disturbo/uscita , che dovranno essere imposte nella prima fase della sintesi , risultano pertanto :

Nella seconda fase non resta quindi che calcolare il controllore G(s) e il blocco di reazione H(s) che , combinati , danno luogo alla W(s) e alla Wz(s) desiderate:

Una soluzione alternativa consiste invece nell'adottare lo schema ibrido con compensazione diretta del disturbo z(s) , come mostrato in figura 3. La funzione di trasferimento del blocco di compensazione K(s) non entra nella relazione ingresso/uscita ( per la sovrapposizione degli effetti ) , quindi la G(s) si calcola come sopra , mentre per quanto riguarda la funzione di trasferimento disturbo/uscita si ha:
Pertanto , una volta calcolato il controllore a partire dalla W(s) desiderata, si aggiusta K(s) in modo che anche il comportamento rispetto al disturbo sia quello desiderato:

Figura 3 : per introdurre un grado di libertà il progettista può passare ad uno schema ibrido che preveda la compensazione diretta del disturbo

Limiti di applicazione della sintesi diretta

I limiti di questo metodo sono dovuti alla filosofia stessa della sintesi diretta , che agisce sulla funzione di trasferimento a ciclo chiuso senza tener conto delle caratteristiche del processo : è compito del progettista assicurarsi che la W(s) , assegnata per soddisfare le specifiche di progetto , sia compatibile con l'espressione della P(s) che si trova di fronte caso per caso. Nella sintesi per tentativi questo non può accadere perché si progetta "indirettamente" la W(s) , agendo sulla funzione di trasferimento in catena aperta F(s) che contiene al proprio interno la P(s) stessa. 
In termini pratici queste considerazioni danno luogo a due problemi distinti per il progettista:
1) problemi di fisica realizzabilità del controllore G(s)
2) presenza di un sottosistema non osservabile ma instabile ( instabilità interna ) nel sistema a ciclo chiuso , dovuto a cancellazioni di poli a parte reale positiva del processo.
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Fedeltà di risposta di un sistema di controllo rispetto ai disturbi

Risposta a regime permanente di un sistema retroazionato a disturbi costanti

 
La trattazione della fedeltà di risposta rispetto ai disturbi agenti sul sistema può essere impostata in maniera formalmente analoga alla fedeltà rispetto agli ingressi di controllo. Basta infatti considerare, in luogo della funzione di trasferimento ingresso uscita  , la funzione di trasferimento disturbo/uscita  e tenere presente che l'uscita desiderata rispetto al disturbo è nulla (  ) : si vorrebbe infatti che il sistema di controllo fosse insensibile ai disturbi , che questi , cioè, non producessero alcun effetto sull'uscita. 
Ci si è quindi ricondotti a un sistema di controllo proporzionale con costante desiderata nulla ( Kzd=0 ) , che ci porta a considerare la seguente funzione di trasferimento per il sistema errore:
.
E' il caso di notare che la "proporzionalità" riguarda la relazione causa-effetto fra disturbo ed uscita e resta anche nel caso in cui , sul ramo di reazione , sia presente una dinamica H(s). Quanto verrà detto in seguito , quindi , varrà anche per sistemi che non hanno sul ramo di reazione un termine costante.
Per semplificare, però , non tratteremo il caso di disturbi polinomiali di grado k arbitrario , ma solo il caso di disturbi costanti , che possono essere visti come un polinomio canonico di ordine zero. Classificheremo quindi i sistemi di controllo in due categorie: 
1) sistemi di controllo astatici , se la risposta a regime rispetto al gradino è nulla. L'astatismo racchiude, in pratica , i sistemi di tipo uno , due, ecc, rispetto ai disturbi.
2) sistemi di controllo statici , se la risposta a regime rispetto al gradino tende a un valore costante non nullo. I sistemi statici sono sistemi di tipo zero rispetto al disturbo.
L'altra distinzione impostante che caratterizza la trattazione della fedeltà di risposta riguarda il punto di ingresso del rumore. Tratteremo sempre disturbi additivi e sistemi a controreazione , per cui la casistica prevede: 
a) disturbo additivo in uscita
b) disturbo additivo in catena diretta
c) disturbo additivo sul ramo di reazione
 

Risposta a regime per rumore additivo in uscita

Il punto di ingresso del disturbo nello schema complessivo è indicato in figura 1. In figura 2 è invece mostrato lo schema che viene utilizzato per il calcolo della Wz(s) : per la sovrapposizione degli effetti non si è considerato l'ingresso di controllo u(s).
Figura 1 : Lo schema considerato per valutare gli effetti di un rumore additivo in uscita Figura 2 : Lo schema considerato per il calcolo della funzione di trasferimento disturbo/uscita
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Sintesi di un sistema di controllo di tipo K

Sintesi di un sistema di controllo di tipo k

 
Si è detto nel paragrafo precedente che , per avere un sistema di tipo k deve essere soddisfatta la seguente condizione sui coefficienti Ce,i del sistema errore:
Si è anche detto che tali coefficienti descrivono lo sviluppo in serie di Mc Laurin della funzione di trasferimento del sistema errore:
Perciò i primi k termini di questo sviluppo sono nulli e quindi la stessa We(s) si può scrivere come:
Abbiamo cioè dimostrato che : 
PROPOSIZIONE 1 : Condizione necessaria e sufficiente perché un sistema di controllo sia di tipo k è che la funzione di trasferimento del sistema errore abbia uno zero di ordine k nell'origine ( k derivatori ).
La proposizione 1 fornisce una prima indicazione sulla sintesi di un sistema di controllo di tipo k , che ha validità generale e non dipende dalla particolare struttura del sistema da realizzare. Vedremo poi come questa condizione si particolarizzerà nel caso di sistemi di controllo in controreazione. Per ora si tratta di tradurre una condizione sulla f.d.t. del sistema errore in una condizione sulla f.d.t. del sistema di controllo vero e proprio, perché è su quest'ultima che agisce il progettista in fase di sintesi.
Per fare questo sviluppiamo l'equazione  , vista nel paragrafo precedente , per i sistemi di controllo proporzionali , a partire da diverse possibili espressioni per la funzione di trasferimento W(s) :
1) W(s) in forma di rapporto fra polinomi :  . Sviluppando l'equazione della We(s) e portando i due termini a denominatore comune , otteniamo :
 
  La condizione per ottenere un sistema di tipo K diventa quindi la seguente:
PROPOSIZIONE 2 : Un sistema di controllo , caratterizzato dalla funzione di trasferimento W(s) nella forma 1) , è di tipo k se e solo se sono soddisfatte le seguenti condizioni :
 
2) W(s) in forma fattoriale secondo l'espressione di Bode :  . Si tratta di trovare delle relazioni fra le costanti di tempo dei singoli poli e zeri : trovare una condizione di validità generale per ogni k , a partire dalla proposizione 1 , risulta in questo caso più difficile . Conviene allora , a partire dalle condizioni sui Ce,i trovate nel paragrafo precedente, trovare delle condizioni per ottenere dei sistemi di tipo zero, uno , due, che sono quelli più facili da trovare operativamente.
 

PROPOSIZIONE 3A) :
 Condizione necessaria e sufficiente perché un sistema sia di tipo zero è che si abbia  . In caso contrario il sistema è certamente di tipo k>0.
DIMOSTRAZIONE : Per come abbiamo visto che si calcolano i coefficienti Ce,i della funzione di trasferimento del sistema errore si ha che  e , per la definizione stessa del guadagno statico :  . Pertanto perché il coefficiente sia non nullo deve aversi  .
 

PROPOSIZIONE 3B) : Condizioni necessarie e sufficienti perché un sistema sia di tipo zero sono le seguenti : 

3B.1) k=kd 
3B.2) 
DIMOSTRAZONE : Si è visto nella proposizione 3A che se k=kd si annulla il coefficiente Ce,0 e quindi il sistema è certamente di tipo k>0. Si tratta ora di trovare le condizioni che rendono non nullo Ce,1. Andando a calcolare la derivata si ottiene:
, perciò perchè tale coefficiente sia nullo bisogna avere che :

 

 

PROPOSIZIONE 3C)
 : Condizioni necessarie e sufficienti perché un sistema di controllo sia di tipo 2 sono le 3B.1,3B.2 e la: 
3B.3) 
DIMOSTRAZIONE : Continuando a calcolare i coefficienti della serie di Mc. Laurin della We(s) si ha che  , perciò imponendo che Ce,2=0 si ha la 3B.3) .

Sintesi di un sistema retroazionato di tipo k

Per avere sistemi di controllo proporzionali , secondo lo schema in controreazione indicato in figura 1 , il ramo inverso deve essere statico e caratterizzato da un guadagno 1/kd. Possiamo in questo modo calcolare la funzione di trasferimento del sistema errore We(s) e vedere che relazione esiste fra i suoi zeri e i poli e gli zeri della funzione di trasferimento in catena diretta G(s).
La G(s) entra nella funzione di trasferimento ingresso/uscita a ciclo chiuso secondo la seguente espressione :
pertanto l'espressione della funzione di trasferimento ingresso/errore è:
 .
Scrivendo quindi la G(s) come rapporto di polinomi (  ) , la funzione di trasferimento del sistema errore si può scrivere come :
.
In conclusione abbiamo dimostrato la seguente proposizione:
PROPOSIZIONE 4 : In un sistema di controllo proporzionale retroazionato gli zeri del sistema errore coincidono con i poli della funzione di trasferimento in catena diretta. Pertanto un sistema di controllo proporzionale retroazionato è di tipo k se e solo se è presente un polo di ordine k nell'origine ( k integratori in catena diretta ).

Entità dell'errore a regime per sistemi a retroazione negativa

Un aspetto importante in fase di sintesi riguarda la possibilità di ridurre l'errore a regime del sistema ( errore al gradino per sistemi di tipo zero , errore alla rampa per sistemi di tipo 1 , ecc ) entro soglie stabilite dalle specifiche di progetto. Nei sistemi a retroazione negativa questo parametro è il guadagno statico Kg della f.d.t. in catena diretta. Per sistemi di tipo zero si ha infatti :
.
Per i sistemi di k>0 vale qualcosa di analogo , anche se Kg è una semplice costante moltiplicativa e non ha il significato di guadagno statico ( il modulo della G(s) tende a infinito alle basse frequenze per la presenza degli integratori):
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La Fedeltà di Risposta di un Sistema di Controllo

La Fedeltà di risposta di un sistema di controllo

Dopo la stabilità , analizziamo l'altro fondamentale requisito che un sistema di controllo deve soddisfere : la fedeltà di risposta. La si è definita nel paragrafo 2.1 come la capacità del sistema di produrre uscite conformi a quelle desiderate . Dalla definizione stessa si intuisce che questo argomento necessita una trattazione molto ampia , perché vi sono molti aspetti da tenere in considerazione. Considerando ad esempio le cause che influenzano l'uscita del sistema , si distingue fra:
1) fedeltà di risposta rispetto agli ingressi di controllo
2) fedeltà di risposta rispetto ai disturbi
3) fedeltà di risposta rispetto alle variazioni parametriche ( vedi sensibilità )
Considerando invece il comportamento del sistema di controllo e i suoi tempi di risposta, si ottiene la seguente classificazione della fedeltà di risposta :
a) fedeltà a regime permanente
b) fedeltà in regime transitorio
Vanno infine scelte particolari classi di ingressi rispetto ai quali caratterizzare le proprietà del sistema , non potendo ovviamente considerare tutti i possibili stimoli che si troverebbero ad agire sui sistemi reali. Le classi scelte in questa sede sono :
- gli ingressi polinomiali e sinusoidali per la risposta a regime
- il gradino per la risposta transitoria

Definizione del sistema errore

La fedeltà di risposta si quantifica a partire dallo scostamento fra uscita desiderata ed uscita effettiva del sistema : il primo passo per l'analisi di questa proprietà consiste nel definire il sistema errore , ovvero un sistema fittizio la cui uscita corrisponde allo scostamente fra uscita desiderata ed uscita effettiva . Definendo tale scostamento ( l'errore, appunto ) come : 
e pensando l'uscita desiderata come l'uscita di un sistema desiderato Wd(s) :
 ,
la funzione di trasferimento del sistema errore è la seguente :
e lo schema a blocchi corrispondente è indicato in figura 1.
In seguito si tratteranno sistemi di controllo proporzionali, in cui cioè l'uscita deve seguire l'ingresso secondo un fattore di proporzionalità kd , per cui Wd(s)=kd e la funzione di trasferimento del sistema errore è : 

Fedeltà a regime permanente per ingressi polinomiali

La teoria dei sistemi ci dice che , per poter parlare di risposta a regime permanente di un sistema lineare stazionario di ordine finito è necessario che il sistema stesso sia asintoticamente stabile. in questo caso esiste risposta a regime per un ingresso del tipo:
, detto polinomio canonico , è un polinomio completo esprimibile nella forma :
.

I coefficienti Ci corrispondono con i coefficienti dello sviluppo in serie di Mc Laurin della funzione di trasferimento W(s) , valutati in s=0 per il teorema del valore finale: 
Riscrivendo l'espressione per il sistema errore otteniamo la seguente risposta a regime :

dove il coefficienti di errore si calcolano in maniera analoga:

La forma assunta da tali coefficienti , che sono legati alle derivate in s della f.d.t. del sistema errore , permettono di dimostrare la seguente proposizione: 
PROPOSIZIONE 1: Se un sistema di controllo proporzionale risponde a regime con errore costante ad un polinomio canonico di ordine k , la sua risposta presenta errore nullo per ingressi canonici di ordine inferiore ed errore illimitato per ingressi canonici di ordine superiore . Questa proprietà è di fondamentale importanza per definire il tipo di un sistema di controllo. 
DIMOSTRAZIONE : Chiedere che l'errore a regime sia costante e non nullo equivale a imporre le seguenti condizioni sui coefficienti di errore:
.
Se a questo punto andiamo a scrivere l'espressione dell'errore a regime per ingressi canonici di ordine k+1 e k-1, otteniamo che: 
a) l'errore rispetto all'ingresso canonico di ordine k-1 è nullo, perché si tratta di un polinomio completo con tutti i coefficienti nulli: 
b) l'errore rispetto all'ingresso canonico di ordine k+1 è divergente , essendo caratterizzato dall'espressione :
, in cui � presente il termine divergente:
.

Definizione di tipo di un sistema di controllo

Un sistema di controllo proporzionale si dice di ordine k se la risposta a regime permanente  all'ingresso a regime  differisce dall'andamento desiderato  per una quantità costante non nulla
L'esistenza di un solo valore k che distingue fra i 3 possibili comportamenti ( errore nullo , errore costante, errore divergente ) è assicurata dalla proposizione 1 : se la proposizione non fosse valida e il comportamento non fosse così regolare al crescere dell'ordine dell'ingresso , non avrebbe senso la definizione stessa di tipo del sistema. 
In termini pratici, risulta interessante studiare sistemi di tipo zero, tipo uno e , al massimo sistemi di tipo 2. Ha poco senso ,infatti, considerare sistemi di tipo arbitrariamente grande , principalmente per due motivi :
1) perché gli ingressi con cui vengono stimolati i sistemi reali appartengono a un numero ristretto di classi . Tralasciando per ora gli stimoli sinusoidali, che verranno trattati a parte, la maggior parte degli ingressi nei sistemi di controllo reali si possono ottenere con sovrapposizioni di :
1a)
gradini , ovvero tratti ad andamento costante : i sistemi che forniscono errore a regime nullo per ingresso a gradino sono i sistemi di tipo zero.
1b) rampe , ovvero tratti a pendenza costante : i sistemi che forniscono errore a regime nullo per rampe sono i sistemi di tipo uno.
1c) parabole : i sistemi che forniscono errore a regime per ingressi parabolici sono i sistemi di tipo due.
2) Per questioni di stabilità. Si vedrà infatti nella prossima pagina che, per aumentare il tipo di un sistema di controllo in controreazione, è necessario introdurre integratori in catena diretta , che avvicinano il sistema al limite dell'instabilità. Si può quindi affermare che stabilità e fedeltà di risposta sono due esigenze contrastanti ed è compito del progettista trovare il giusto compromesso.
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I diagrammi di Bode

I diagrammi di Bode

 
I diagrammi di Bode consistono nella rappresentazione di modulo e fase della funzione di trasferimento al variare della frequenza del segnale di ingresso. Rispetto ai diagrammi polari o di Nyquist , presentano due sostanziali differenze:

1) fanno riferimento alla rappresentazione geometrica dei numeri complessi ( modulo e fase ) , mentre i diagrammi di Nyquist presentano sull'asse delle ascisse e su quello delle ordinate rispettivamente parte reale e parte immaginaria ( rappresentazione algebrica )

2) presentano la frequenza ( o la pulsazione ) come variabile indipendente sull'asse delle ascisse , mentre nei diagrammi polari la pulsazione parametrizza la curva. Inoltre , per semplificare la rappresentazione grafica, l'asse delle ascisse ha scala logaritmica :

con  da scegliere in base alle costanti di tempo del sistema da analizare ( solitamente 1 rad/s) . Anche l'asse delle ordinate , per il diagramma del modulo , ha scala logaritmica espressa in decibel :

Nel diagramma della fase, invece , l'asse delle ordinate ha scala lineare e vi si riporta  in gradi o radianti.

Tracciare i diagrammi di Bode

A differenza dei diagrammi di Nyquist, i diagrammi di Bode si prestano abbastanza facilmente ad essere tracciati quantitativamente senza il ricorso a sistemi di calcolo automatico , grazie soprattutto a due semplificazioni:
1) Il diagramma di Bode di una funzione di trasferimento si può costruire come sovrapposizione dei diagrammi di Bode dei singoli contributi : costante moltiplicativa, derivatori , integratori, poli e zeri semplici, coppie di poli e zeri complessi coniugati. Per la fase, come si è visto nella dimostrazione del lemma del mapping, vale la sovrapposizione degli effetti : se F(s) è nella forma 

allora la fase della F(s) vale : 
 ;
Per quanto riguarda il modulo, invece, la sovrapposizione degli effetti è dettata dall'utilizzo dei dB ; per le proprietà dei logaritmi , infatti , il prodotto dei moduli dei singoli contributi si traduce nella somma dei singoli contributi, espressi in dB : 
2)
I diagrammi di Bode dei singoli contributi si possono tracciare in modo qualitativo con tratti spezzati, ricorrendo poi a dei diagrammi di correzione per risalire all'andamento quantitativamente corretto , mostrati in figura 1 per il caso di una coppia di zeri ( o poli , basta invertire l'asse delle ordinate ) complessi coniugati.
  Figura 1a: Le correzioni da apportare al diagramma approssimato della fase di una coppia di zeri complessi coniugati Figura 1b: Le correzioni da apportare al diagramma approssimato del modulo di una coppia di zeri complessi coniugati
Di seguito sono riportati i diagrammi di Bode ( esatti ed approssimati , o asintotici ) dei singoli contributi che si possono presentare nel tracciare il diagramma complessivo di una qualsiasi funzione di trasferimento :
a)
costante moltiplicativa : esprimendo F(s) come prodotto di fattori , la costante k da luogo ad un modulo in dB pari a e ad una fase che vale :
a1) 0 se k>0 ( come mostrato con il tratto blu in figura 2 ) 
a2) -180° se k<0 ( come mostrato con il tratto rosso in figura 2) 
  Figura 2 : il contributo ai diagrammi di Bode della costante moltiplicativa
b)
Zeri nulli : ciascun derivatore da un contributo rettilineo ( su scala logaritmica ) per quanto riguarda il modulo , con pendenza pari a 20dB/decade e un contributo alla fase pari a 90° ; ricordando come si calcola il modulo di un numero complesso , si ha infatti : 
;
ricordando invece come si calcola la fase, e notando che la parte reale del termine derivato è nulla, si ha : 
.
in figura 3 sono rappresentati un derivatore semplice in blu ( 20dB/dec e 90° ), un derivatore doppio in rosso ( 40dB/dec e +180° di sfasamento) e un triplo polo zero in verde ( 60dB/dec e 270° di sfasamento in anticipo ).
  Figura 3 : I diagrammi di Bode dei derivatori
c)
poli nulli : con considerazioni simili a quelle viste per il derivatore, si può dimostrare che ciascun iintegratore contribuisce al modulo della funzione di trasferimento con un termine rettilineo a pendenza negativa di -20dB/decade e alla fase con un contributo costante di -90° ; in figura 3 sono rappresentati un integratore semplice in blu ( -20dB/dec e -90° ), un integratore doppio in rosso ( -40dB/dec e -180° di sfasamento) e un triplo polo nullo in verde ( -60dB/dec e -270° di sfasamento in anticipo ).
  Figura 5 : i diagrammi di Bode degli integratori
d)
zeri reali non nulli : in figura 6 sono riportati il contributo al modulo e alla fase di un zero reale non nullo ; in rosso è riportato l'andamento di uno zero negativo, in blu quello di uno zero positivo. In celeste è invece riportato l'andamento del diagramma di bode approssimato , detto anche diagramma di Bode asintotico, che approssima l'andamento della fase e del modulo con delle spezzate. I diagrammi asintotici approssimano con buona precisione i diagrammi reali alle alte frequenze e alle basse frequenze , mentre intorno alla frequenza naturale dello zero introducono un errore massimo di 3dB per il modulo e di 5.7° per la fase . Matematicamente le approssimazioni sono spiegate dai seguenti passaggi : l'espressione del modulo in dB è 
 , dove si è definito  , e:

d1) alle basse frequenze  , per cui il modulo è pressoché nullo 
d2) alle alte frequenze  e si è visto, analizzando il contributo del derivatore, che tale espressione corrisponde ad una pendenza positiva di 20dB/decade.
L'espressione della fase è invece :
 e :

d1) alle basse frequenze 
d2)alle alte frequenze  
In caso di poli e zeri multipli , le pendenze del contributo del modulo e le fasi alle basse frequenze si sommano.
  Figura 6: I diagrammi esatti e asintotici di uno zero reale non nullo
e)
poli reali non nulli : per i poli reali non nulli valgono considerazioni simili a quelle viste per gli zeri non nulli. In figura 7 sono riportati gli andamenti reali per polo negativo ( rosso ) e polo positivo ( blu ) , mentre in celeste è riportato il diagramma asintotico costruito mediante spezzate. Va notato che , mentre nel diagramma del modulo di uno zero non nullo, la spezzata resta costantemente al di sotto dell'andamento esatto , per cui la correzione da apportare è di +3dB in corrispondenza di  , nel diagramma del polo è l'andamento reale ad essere minorato dalla spezzata, per cui la correzione da apportare è di -3dB. Come per lo zero, inoltre, la pendenza della seconda spezzata si raddoppia nel caso di polo doppio ( -40dB/decade ) si triplica per per polo triplo ( -60dB/decade ), ecc..
  Figura 7: I diagrammi di Bode esatti ed asintotici di un polo reale non nullo
 

Rilevare margine di fase e margine di guadagno sui diagrammi di Bode

Come nei diagrammi di Nyquist, il margine di fase ed il margine di guadagno hanno un immediato significato geometrico anche nei diagrammi di Bode. A differenza dei diagrammi polari, però, nei diagrammi di Bode è più agevole valutare quantitativamente queste due grandezze.
1) Il margine di guadagno può essere valutato in due semplici passi, che sono rappresentati in figura 8:
1a) Si individua della pulsazione  , definita dall'equazione  , come intersezione fra il diagramma della fase e la linea tratteggiata verde in figura ; 
1b) Si valuta , sul diagramma del modulo, l'ampiezza del segmento congiungente ( lungo la verticale ) l'asse 0dB (linea tratteggiata celeste ) con il diagramma stesso. Se il segmento è contenuto nel semipiano dB<0 , il margine è positivo, altrimenti il margine di guadagno è negativo.

2) Il margine di fase può essere può essere ricavato con una procedura simile : 

2a) Si individua la pulsazione , definita in precedenza come  , dall'intersezione fra il diagramma del modulo e la linea tratteggiata celeste ( asse delle ascisse del primo diagramma , corrispondente ad una retta a modulo costante 0dB )
2b) Si valuta l'ampiezza del segmento che congiunge , nel grafico della fase , il punto del diagramma in tale frequenza con la retta a fase costante -180° : il margine va considerato positivo se il punto si trova sopra la retta , negativo altrimenti.
  come individuare margine di fase e di guadagno sui diagrmmi di Bode
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Margine di Fase e Margine di Guadagno

Lo studio del diagramma di Nyquist della F(s) risulta di particolare importanza perché non si limita a fornire un'indicazione "on/off" ( stabile/instabile ) sulla stabilità del sistema retroazionato , ma permette al progettista un'analisi più complessa sul comportamento del sistema stesso al variare del guadagno statico in catena aperta. Le fasi di questa analisi sono due:
1)
Classificazione della stabilità , in 4 categorie ; facendo riferimento , per semplicità , alla situazione di un sistema a retroazione unitaria ( per cui il punto critico è -1+j0 ) e di sistema in catena aperta stabile ( per cui si applica il criterio di Nyquist ridotto , la condizione di instabilità si riconduce al circondamento del punto critico da parte del diagramma polare ) , alle 4 categorie corrispondono altrettanti comportamenti del diagramma di Nyquist al variare del guadagno :
 
1a) stabilità incondizionata se, come visto nell'esempio del paragrafo precedente , il sistema è stabile per qualsiasi valore del guadagno statico. Sistemi di questo tipo sono caratterizzati da un diagramma di Nyquist che non interseca mai il semiasse reale negativo. Questa situazione è riportata in figura 1.
  Figura 3 : Il diagramma di Nyquist di 1/(s+1)
 
1b) stabilità regolare , se il sistema risulta stabile per un intervallo di guadagni Kst che va da 0 ad un valore limite Kmax . Rientrano in questa categoria i sistemi il cui diagramma di Nyquist interseca in un solo punto il semiasse reale negativo : nelle figure 3 e 4 sono mostrati i diagrammi di un sistema a tre poli reali negativi del tipo 
 
 
rispettivamente per Kst=30 ( in blu , in corrispondenza del quale il diagramma non circonda il punto critico e quindi il sistema retroazionato è stabile ) e per Kst=100 ( in rosso , in corrispondenza del quale il diagramma circonda il punto critico e quindi il sistema retroazionato è instabile ).
  Figura 2 : il passaggio dalla stabilità all'instabilità , al crescere del guadagno , per un sistema a stabilità regolareFigura 3 : il passaggio dalla stabilità all'instabilità , al crescere del guadagno , per un sistema a stabilità regolare. Dettaglio attorno al punto critico
 
1c) stabilità condizionata , se il sistema risulta instabile tanto per Kst<Kmin che per Kst>Kmax : esiste quindi un intervallo di valori che il progettista può assegnare al guadagno statico in modo da ottenere un sistema retroazionato stabile. Al di fuori di tale intervallo il sistema a ciclo chiuso risulta instabile. Questi sistemi sono caratterizzati da un diagramma di Nyquist che interseca in più punti il semiasse reale negativo , in modo che il punto critico venga circondato tanto per piccoli valori di Kst , che per grandi valori di Kst. Quando le intersezioni con il semiasse negativo sono molte, può anche accadere che esistano più intervalli di stabilità per il guadagno statico : perché però l'applicazione del criterio mantenga significato fisico è necessario che ciascuno di questi intervalli sia limitato superiormente. Altrimenti si parla di :
 
1d) stabilità paradossale , quando , per Kst>kn , il diagramma non circonda più il punto critico e quindi il sistema retroazionato è stabile anche per valori indefinitamente grandi del guadagno statico . Si parla di stabilità paradossale perché questa situazione è sintomo di un errore nello studio del sistema stesso : un motivo frequente è ad esempio un'eccessiva semplificazione nell'identificazione del modello della F(s) , che induce a trascurare poli non irrilevanti nella dinamica del sistema stesso.
2)
Quantificazione della stabilità , mediante la definizione dei margini di stabilità . Non è infatti sufficiente , ai fini della sintesi di un sistema di controllo, affermare che il sistema progettato è stabile : bisogna specificare quanto il sistema realizzato è lontano dalla condizione di instabilità . 
Se infatti il sistema progettato è , già "sulla carta", prossimo al limite di instabilità , ci si può ritrovare, "sul campo ", con un sistema di fatto instabile a causa di diversi fattori : 
- approssimazioni adottate in fase di progetto ; 
- variazioni parametriche rispetto al modello considerato ; 
- insorgenza di disturbi non preventivati.

Si è detto in precedenza che , per sistemi stabili in catena diretta , la condizione di instabilità è rappresentata dal circondamento , da parte del diagramma di Nyquist , del punto critico ( -1+j0 , nel caso di retroazione unitaria ) : a partire da questa osservazione si sono definiti due parametri che permettano la quantificazione di cui sopra.
 
2a) margine di guadagno : riferendoci per semplicità ad un sistema del tipo 1a) , al crescere di Kst l'intersezione del diagramma con il semiasse reale negativo si avvicina al punto -1+j0 , fino a circondarlo in corrispondenza di un valore Kst=kmax. Dicendo  la frequenza per cui avviene tale intersezione ( cioè  ) , la distanza fra tale punto ( indicato in figura 4 con la lettera P ) e -1+j0 ( indicato in figura 4 con la lettera C ) è una buona misura di quanto il sistema sia distante dall'instabilità. 
Tale quantità , che è rappresentata in figura 4 dal segmento PC e si può valutare matematicamente come  , è una prima possibile definizione del margine di guadagno.
  La distanza dall'instabilità di un sistema a stabilità regolare ( una sola intersezione con il semiasse negativo
 
Non si tratta tuttavia della definizione più utilizzata , pertanto si è indicato questo paramentro con mg' . La soluzione più diffusa consiste infatti nel definire il margine di guadagno come il rapporto fra il segmento OP ed il segmento OC : 
Trattando sistemi a retroazione unitaria si ha OC=1 , perciò il margine di guadagno si riduce a :
Il motivo del maggiore utilizzo di mg a scapito di mg' risiede nel fatto che , essendo un rapporto, mg si può esprimere anche in dB ed è direttamente rilevabile dai diagrammi di Bode della funzione di trasferimento: 

;

Per i sistemi a retroazione unitaria il logaritmo di OC è nullo e quindi il margine di guadagno si riduce a :


Si noti che OP è il modulo della funzione di trasferimento in corrispondenza dell'intersezione con il semiasse reale negativo , quindi per sistemi stabili ha valori inferiori all'unità : il logaritmo è quindi negativo e il margine di fase è positivo. Per sistemi a retroazione unitaria instabili, invece, tale segmento ha ampiezza maggiore di 1 e il corrispondente logaritmo è positivo : il margine di fase è negativo.
 
2b) margine di fase : la figura 5 mostra che il margine di guadagno non è sufficiente , da solo, a caratterizzare completamente la distanza del sistema dal limite di instabilità. Nella figura sono infatti mostrati i diagrammi di Nyquist di due sistemi caratterizzati dallo stesso margine di guadagno ( stessa lunghezza del segmento PC , in quanto intersecano il semiasse reale negativo nello stesso punto ) : nonostante ciò , è evidente che il sistema tracciato in rosso è più prossimo all'instabilità del sistema tracciato in blu . In altre parole, nel sistema in rosso è sufficiente un minore incremento di Kst per ottenere un sistema a ciclo chiuso instabile , mentre per il sistema tracciato in blu è necessario un incremento maggiore .
  Figura 5 : il diagramma di Nyquist di due sistemi con lo stesso margine di guadagno
 
Risulta utile, allora, definire una seconda grandezza che sia in grado di distinguere fra queste due situazioni. Per fare ciò si parte da una considerazione simile a quella effettuata per definire il margine di guadagno : il circondamento del punto critico avviene , per sistemi a retroazione unitaria, quando il modulo della funzione di trasferimento in catena aperta diventa pari ad 1. Definiamo pulsazione di attraversamento ,  , la "frequenza" per cui ciò accade : 
.

Possiamo pensare la pulsazione di attraversamento come la pulsazione in corrispondenza della quale il diagramma di Nyquist interseca la circonferenza unitaria : se in corrispondenza di la fase è inferiore a -180° l'intersezione avviene nel 3° quadrante ( figura 6A ) e il punto critico non viene circondato , perciò il sistema a ciclo chiuso è stabile. Se invece in corrispondenza di  la frequenza è inferiore a -180° l'intersezione con la circonferenza unitaria avviene nel 2° quadrante e il punto critico viene circondato : il sistema a ciclo chiuso è instabile ( figura 6B ).
  Figura 6A : se il sistema è stabile l'intersezione con la circonferenza unitaria avviene nel 3° quadranteFigura 6B : se il sistema è instabile l'intersezione con la circonferenza unitaria avviene nel 2° quadrante
 
Risulta quindi naturale definire il margine di fase come la "distanza" fra la fase della funzione di trasferimento alla pulsazione di attraversamento e il valore critico di -180°:

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Tracciare i diagrammi di Nyquist o diagrammi polari

I diagrammi di Nyquist o diagrammi polari

 
Per tracciare quantitativamente il diagramma di Nyquist della F(s) è necessario calcolare il modulo e la fase di F(jw) per un gran numero di valori di w e riportare i punti corrispondenti sul piano immagine Re[F(jw)],Im[F(jw)] . Se il sistema in catena aperta è stabile , ed ammette quindi risposta a regime per stimoli sinusoidali , queste grandezze possono essere rilevate sperimentalmente costruendo la risposta armonica. 
Un ottimo strumento che implementa tale calcolo è il Control System Toolbox per Matlab , costituito da un insieme di funzioni appositamente dedicate all'analisi e alla sintesi dei sistemi di controllo. Fra queste funzioni vi è Nyquist(tf(num,den)) , che riceve due vettori ( num e den ) contenenti i coefficienti del polinomio a numeratore e denominatore della F(s) e plotta il relativo diagramma di Nyquist : tf sta per transfer function ed è una delle funzioni a disposizione del Control System Toolbox per definire un sistema lineare stazionario ; le altre funzioni per la costruzione di un sistema lineare stazionario sono zpk ( modello zero-pole-gain ) , ss ( modello in spazio di stato ) , frd ( frequency response data , che crea un modello a partire dalla risposta in frequenza del sistema ) . 
Non è sempre necessario, però, tracciare il diagramma quantitativo : per determinare la stabilità del sistema a ciclo chiuso, infatti, è sufficiente conoscere il numero di giri che il diagramma di Nyquist compie attorno al punto critico; pertanto ci si può accontentare di un andamento qualitativo , prestando attenzione alla scala e al dato quantitativo solo nell'intorno di -1+j0 ; elencheremo ora un certo numero di regole utili al tracciamento del diagramma di Nyquist secondo questo principio : 
1) Il diagramma di Nyquist è simmetrico rispetto all'asse reale , perché i sistemi lineari stazionari sono rappresentati da funzioni di trasferimento razionali a coefficienti reali , per le quali F(-jw)=F*(jw) . Per ottenere il diagramma completo è sufficiente quindi tracciare il semi-diagramma per w>0 e ribaltarlo rispetto all'asse reale. Questo spiega perché il diagramma di Nyquist può essere tracciato sperimentalmente a partire dalla risposta armonica : per le w positive, modulo e fase della F(jw) possono essere ricavate stimolando i blocchi della catena diretta con ingressi sinusoidali e rilevando l'attenuazione e lo sfasamento dell'uscita. Per le frequenze negative questo non è ovviamente possibile e i punti corrispondenti nel diagramma di Nyquist non hanno significato fisico, ma pura valenza matematica . Grazie a questa simmetria è' comunque possibile ricavarli da quelli a frequenze reali mediante ribaltamento.
2) Se F(s) è una funzione razionale strettamente propria, la semicirconferenza di raggio infinito che circonda il semipiano Re>0 si mappa nell'origine di Re[F(jw)],Im[F(jw)] ;se invece numeratore e denominatore hanno lo stesso grado ( ricordiamo che le funzioni razionali improprie non sono fisicamente realizzabili ) , la semicirconferenza si mappa in un punto finito ottenibile come:
 .
Per calcolare la fase con cui il diagramma di Nyquist arriva in questo punto è sufficiente ricordare che , per  , ciascuno zero di ordine k contribuisce con la fase  , mentre ciascun polo di ordine k contribuisce con la fase . Complessivamente, quindi, il diagramma di Nyquist arriva nel punto considerato con la fase
,
dove n è il grado del denominatore della F(s) ed m il grado del numeratore.
3) In w=0 il diagramma di Nyquist parte dai seguenti punti :
  3a) dall'asse reale (fase nulla) , con modulo pari al guadagno statico , se la F(s) non presenta né integratori (poli nulli ) né derivatori (zeri nulli ) ;
 
3b) da un punto all'infinito , con quadrante determinato dal numero di integratori , se la F(s) presenta poli nulli . Se ad esempio si ha un solo integratore , il diagramma di Nyquist, per w=0 , partirà dall'asse immaginario con modulo  . Se invece gli integratori sono due, il diagramma partirà da un punto che diverge verso la direzione negativa dell'asse reale , ecc ;
 
3c) dall'origine del piano complesso , se la F(s) presenta derivatori. La fase con cui il diagramma parte da questo punto , dipende, come per il caso 3b , dal numero di derivatori. Detto k il numero di zeri nulli , la fase iniziale sarà
 .
4) Un altro punto significativo per tracciare qualitativamente il diagramma di Nyquist è il limite per  : questo punto permette infatti di intuire in che direzione muove il diagramma di Nyquist per andare dalla frequenza nulla a frequenza infinita. Se non si vuole calcolare esplicitamente il limite , è sufficiente tenere conto delle costanti di tempo di poli e zeri della f.d.t. e valutare il modulo per una frequenza che corrisponda ad un tempo sufficientemente maggiore della costante di tempo più grande.

Tracciamento del diagramma di Nyquist per una semplice f.d.t.

Per esemplificare l'utilizzo delle regole sopra descritte , presentiamo ora i diagrammi di Nyquist di una funzione di trasferimento elementare , che presenta un solo polo reale negativo.
DIAGRAMMA POLARE DI UNA F.D.T. CON UN POLO REALE NEGATIVO : Prendiamo ad esempio un polo in -1 e guadagno statico unitario , per cui la funzione di trasferimento è :
Per quanto detto al punto 2) , il  è nullo e la fase di F(s) per frequenze infinite è  : il diagramma di Nyquist alle alte frequenze tende all'origine del piano caratteristico e vi arriva tangente al semiasse immaginario negativo, come mostra la figura 1.
Figura 1 : Il diagramma di Nyquist di 1/(s+1) per frequenze infinite tende all'origine del piano caratteristico con direzione tangente al semiasse immaginario negativo
La funzione di trasferimento non presenta né zeri né poli nulli e il guadagno statico è 1 , pertanto per w=0 il diagramma parte dal punto 1+j0 ; per  la fase della f.d.t. tende a valori negativi ( si pensi al diagramma di Bode di un sistema con un solo polo negativo ) , quindi il diagramma di Nyquist si sposta da 1+j0 verso il quarto quadrante , come mostrato in figura 2.
Figura 2 : il dettaglio del diagramma di Nyquist di 1/(s+1) per 2=0
Da quanto si è detto sul comportamento della f.d.t. per  , anche alle alte frequenze il diagramma di Nyquist resta nel quarto quadrante : si può intuire che esso resta interamente contenuto in questo quadrante con un andamento regolare del tipo indicato in figura 3.
Figura 3 : Il diagramma di Nyquist di 1/(s+1)
Si può concludere , pertanto, che un sistema di controllo con un solo polo negativo in catena diretta sarà stabile in catena chiusa qualunque siano:
1) la costante di retroazione k : il diagramma polare è infatti contenuto interamente entro il primo e quarto quadrante e non circonderà mai alcun punto -1/k+j0 , indipendentemente dal valore finito di k ; 
2) il guadagno statico : si può notare , infatti , che se avessimo avuto una funzione del tipo Kst/(s+p) sarebbe variato il punto di intersezione fra il diagramma di Nyquist e il semiasse reale positivo, ma il diagramma stesso sarebbe comunque stato interamente compreso nel 1° e 4° quadrante, senza possibilità di circondare il punto critico.
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