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Sintesi di un sistema di controllo di tipo K

Sintesi di un sistema di controllo di tipo k

 
Si è detto nel paragrafo precedente che , per avere un sistema di tipo k deve essere soddisfatta la seguente condizione sui coefficienti Ce,i del sistema errore:
Si è anche detto che tali coefficienti descrivono lo sviluppo in serie di Mc Laurin della funzione di trasferimento del sistema errore:
Perciò i primi k termini di questo sviluppo sono nulli e quindi la stessa We(s) si può scrivere come:
Abbiamo cioè dimostrato che : 
PROPOSIZIONE 1 : Condizione necessaria e sufficiente perché un sistema di controllo sia di tipo k è che la funzione di trasferimento del sistema errore abbia uno zero di ordine k nell'origine ( k derivatori ).
La proposizione 1 fornisce una prima indicazione sulla sintesi di un sistema di controllo di tipo k , che ha validità generale e non dipende dalla particolare struttura del sistema da realizzare. Vedremo poi come questa condizione si particolarizzerà nel caso di sistemi di controllo in controreazione. Per ora si tratta di tradurre una condizione sulla f.d.t. del sistema errore in una condizione sulla f.d.t. del sistema di controllo vero e proprio, perché è su quest'ultima che agisce il progettista in fase di sintesi.
Per fare questo sviluppiamo l'equazione  , vista nel paragrafo precedente , per i sistemi di controllo proporzionali , a partire da diverse possibili espressioni per la funzione di trasferimento W(s) :
1) W(s) in forma di rapporto fra polinomi :  . Sviluppando l'equazione della We(s) e portando i due termini a denominatore comune , otteniamo :
 
  La condizione per ottenere un sistema di tipo K diventa quindi la seguente:
PROPOSIZIONE 2 : Un sistema di controllo , caratterizzato dalla funzione di trasferimento W(s) nella forma 1) , è di tipo k se e solo se sono soddisfatte le seguenti condizioni :
 
2) W(s) in forma fattoriale secondo l'espressione di Bode :  . Si tratta di trovare delle relazioni fra le costanti di tempo dei singoli poli e zeri : trovare una condizione di validità generale per ogni k , a partire dalla proposizione 1 , risulta in questo caso più difficile . Conviene allora , a partire dalle condizioni sui Ce,i trovate nel paragrafo precedente, trovare delle condizioni per ottenere dei sistemi di tipo zero, uno , due, che sono quelli più facili da trovare operativamente.
 

PROPOSIZIONE 3A) :
 Condizione necessaria e sufficiente perché un sistema sia di tipo zero è che si abbia  . In caso contrario il sistema è certamente di tipo k>0.
DIMOSTRAZIONE : Per come abbiamo visto che si calcolano i coefficienti Ce,i della funzione di trasferimento del sistema errore si ha che  e , per la definizione stessa del guadagno statico :  . Pertanto perché il coefficiente sia non nullo deve aversi  .
 

PROPOSIZIONE 3B) : Condizioni necessarie e sufficienti perché un sistema sia di tipo zero sono le seguenti : 

3B.1) k=kd 
3B.2) 
DIMOSTRAZONE : Si è visto nella proposizione 3A che se k=kd si annulla il coefficiente Ce,0 e quindi il sistema è certamente di tipo k>0. Si tratta ora di trovare le condizioni che rendono non nullo Ce,1. Andando a calcolare la derivata si ottiene:
, perciò perchè tale coefficiente sia nullo bisogna avere che :

 

 

PROPOSIZIONE 3C)
 : Condizioni necessarie e sufficienti perché un sistema di controllo sia di tipo 2 sono le 3B.1,3B.2 e la: 
3B.3) 
DIMOSTRAZIONE : Continuando a calcolare i coefficienti della serie di Mc. Laurin della We(s) si ha che  , perciò imponendo che Ce,2=0 si ha la 3B.3) .

Sintesi di un sistema retroazionato di tipo k

Per avere sistemi di controllo proporzionali , secondo lo schema in controreazione indicato in figura 1 , il ramo inverso deve essere statico e caratterizzato da un guadagno 1/kd. Possiamo in questo modo calcolare la funzione di trasferimento del sistema errore We(s) e vedere che relazione esiste fra i suoi zeri e i poli e gli zeri della funzione di trasferimento in catena diretta G(s).
La G(s) entra nella funzione di trasferimento ingresso/uscita a ciclo chiuso secondo la seguente espressione :
pertanto l'espressione della funzione di trasferimento ingresso/errore è:
 .
Scrivendo quindi la G(s) come rapporto di polinomi (  ) , la funzione di trasferimento del sistema errore si può scrivere come :
.
In conclusione abbiamo dimostrato la seguente proposizione:
PROPOSIZIONE 4 : In un sistema di controllo proporzionale retroazionato gli zeri del sistema errore coincidono con i poli della funzione di trasferimento in catena diretta. Pertanto un sistema di controllo proporzionale retroazionato è di tipo k se e solo se è presente un polo di ordine k nell'origine ( k integratori in catena diretta ).

Entità dell'errore a regime per sistemi a retroazione negativa

Un aspetto importante in fase di sintesi riguarda la possibilità di ridurre l'errore a regime del sistema ( errore al gradino per sistemi di tipo zero , errore alla rampa per sistemi di tipo 1 , ecc ) entro soglie stabilite dalle specifiche di progetto. Nei sistemi a retroazione negativa questo parametro è il guadagno statico Kg della f.d.t. in catena diretta. Per sistemi di tipo zero si ha infatti :
.
Per i sistemi di k>0 vale qualcosa di analogo , anche se Kg è una semplice costante moltiplicativa e non ha il significato di guadagno statico ( il modulo della G(s) tende a infinito alle basse frequenze per la presenza degli integratori):
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La Fedeltà di Risposta di un Sistema di Controllo

La Fedeltà di risposta di un sistema di controllo

Dopo la stabilità , analizziamo l'altro fondamentale requisito che un sistema di controllo deve soddisfere : la fedeltà di risposta. La si è definita nel paragrafo 2.1 come la capacità del sistema di produrre uscite conformi a quelle desiderate . Dalla definizione stessa si intuisce che questo argomento necessita una trattazione molto ampia , perché vi sono molti aspetti da tenere in considerazione. Considerando ad esempio le cause che influenzano l'uscita del sistema , si distingue fra:
1) fedeltà di risposta rispetto agli ingressi di controllo
2) fedeltà di risposta rispetto ai disturbi
3) fedeltà di risposta rispetto alle variazioni parametriche ( vedi sensibilità )
Considerando invece il comportamento del sistema di controllo e i suoi tempi di risposta, si ottiene la seguente classificazione della fedeltà di risposta :
a) fedeltà a regime permanente
b) fedeltà in regime transitorio
Vanno infine scelte particolari classi di ingressi rispetto ai quali caratterizzare le proprietà del sistema , non potendo ovviamente considerare tutti i possibili stimoli che si troverebbero ad agire sui sistemi reali. Le classi scelte in questa sede sono :
- gli ingressi polinomiali e sinusoidali per la risposta a regime
- il gradino per la risposta transitoria

Definizione del sistema errore

La fedeltà di risposta si quantifica a partire dallo scostamento fra uscita desiderata ed uscita effettiva del sistema : il primo passo per l'analisi di questa proprietà consiste nel definire il sistema errore , ovvero un sistema fittizio la cui uscita corrisponde allo scostamente fra uscita desiderata ed uscita effettiva . Definendo tale scostamento ( l'errore, appunto ) come : 
e pensando l'uscita desiderata come l'uscita di un sistema desiderato Wd(s) :
 ,
la funzione di trasferimento del sistema errore è la seguente :
e lo schema a blocchi corrispondente è indicato in figura 1.
In seguito si tratteranno sistemi di controllo proporzionali, in cui cioè l'uscita deve seguire l'ingresso secondo un fattore di proporzionalità kd , per cui Wd(s)=kd e la funzione di trasferimento del sistema errore è : 

Fedeltà a regime permanente per ingressi polinomiali

La teoria dei sistemi ci dice che , per poter parlare di risposta a regime permanente di un sistema lineare stazionario di ordine finito è necessario che il sistema stesso sia asintoticamente stabile. in questo caso esiste risposta a regime per un ingresso del tipo:
, detto polinomio canonico , è un polinomio completo esprimibile nella forma :
.

I coefficienti Ci corrispondono con i coefficienti dello sviluppo in serie di Mc Laurin della funzione di trasferimento W(s) , valutati in s=0 per il teorema del valore finale: 
Riscrivendo l'espressione per il sistema errore otteniamo la seguente risposta a regime :

dove il coefficienti di errore si calcolano in maniera analoga:

La forma assunta da tali coefficienti , che sono legati alle derivate in s della f.d.t. del sistema errore , permettono di dimostrare la seguente proposizione: 
PROPOSIZIONE 1: Se un sistema di controllo proporzionale risponde a regime con errore costante ad un polinomio canonico di ordine k , la sua risposta presenta errore nullo per ingressi canonici di ordine inferiore ed errore illimitato per ingressi canonici di ordine superiore . Questa proprietà è di fondamentale importanza per definire il tipo di un sistema di controllo. 
DIMOSTRAZIONE : Chiedere che l'errore a regime sia costante e non nullo equivale a imporre le seguenti condizioni sui coefficienti di errore:
.
Se a questo punto andiamo a scrivere l'espressione dell'errore a regime per ingressi canonici di ordine k+1 e k-1, otteniamo che: 
a) l'errore rispetto all'ingresso canonico di ordine k-1 è nullo, perché si tratta di un polinomio completo con tutti i coefficienti nulli: 
b) l'errore rispetto all'ingresso canonico di ordine k+1 è divergente , essendo caratterizzato dall'espressione :
, in cui � presente il termine divergente:
.

Definizione di tipo di un sistema di controllo

Un sistema di controllo proporzionale si dice di ordine k se la risposta a regime permanente  all'ingresso a regime  differisce dall'andamento desiderato  per una quantità costante non nulla
L'esistenza di un solo valore k che distingue fra i 3 possibili comportamenti ( errore nullo , errore costante, errore divergente ) è assicurata dalla proposizione 1 : se la proposizione non fosse valida e il comportamento non fosse così regolare al crescere dell'ordine dell'ingresso , non avrebbe senso la definizione stessa di tipo del sistema. 
In termini pratici, risulta interessante studiare sistemi di tipo zero, tipo uno e , al massimo sistemi di tipo 2. Ha poco senso ,infatti, considerare sistemi di tipo arbitrariamente grande , principalmente per due motivi :
1) perché gli ingressi con cui vengono stimolati i sistemi reali appartengono a un numero ristretto di classi . Tralasciando per ora gli stimoli sinusoidali, che verranno trattati a parte, la maggior parte degli ingressi nei sistemi di controllo reali si possono ottenere con sovrapposizioni di :
1a)
gradini , ovvero tratti ad andamento costante : i sistemi che forniscono errore a regime nullo per ingresso a gradino sono i sistemi di tipo zero.
1b) rampe , ovvero tratti a pendenza costante : i sistemi che forniscono errore a regime nullo per rampe sono i sistemi di tipo uno.
1c) parabole : i sistemi che forniscono errore a regime per ingressi parabolici sono i sistemi di tipo due.
2) Per questioni di stabilità. Si vedrà infatti nella prossima pagina che, per aumentare il tipo di un sistema di controllo in controreazione, è necessario introdurre integratori in catena diretta , che avvicinano il sistema al limite dell'instabilità. Si può quindi affermare che stabilità e fedeltà di risposta sono due esigenze contrastanti ed è compito del progettista trovare il giusto compromesso.
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I diagrammi di Bode

I diagrammi di Bode

 
I diagrammi di Bode consistono nella rappresentazione di modulo e fase della funzione di trasferimento al variare della frequenza del segnale di ingresso. Rispetto ai diagrammi polari o di Nyquist , presentano due sostanziali differenze:

1) fanno riferimento alla rappresentazione geometrica dei numeri complessi ( modulo e fase ) , mentre i diagrammi di Nyquist presentano sull'asse delle ascisse e su quello delle ordinate rispettivamente parte reale e parte immaginaria ( rappresentazione algebrica )

2) presentano la frequenza ( o la pulsazione ) come variabile indipendente sull'asse delle ascisse , mentre nei diagrammi polari la pulsazione parametrizza la curva. Inoltre , per semplificare la rappresentazione grafica, l'asse delle ascisse ha scala logaritmica :

con  da scegliere in base alle costanti di tempo del sistema da analizare ( solitamente 1 rad/s) . Anche l'asse delle ordinate , per il diagramma del modulo , ha scala logaritmica espressa in decibel :

Nel diagramma della fase, invece , l'asse delle ordinate ha scala lineare e vi si riporta  in gradi o radianti.

Tracciare i diagrammi di Bode

A differenza dei diagrammi di Nyquist, i diagrammi di Bode si prestano abbastanza facilmente ad essere tracciati quantitativamente senza il ricorso a sistemi di calcolo automatico , grazie soprattutto a due semplificazioni:
1) Il diagramma di Bode di una funzione di trasferimento si può costruire come sovrapposizione dei diagrammi di Bode dei singoli contributi : costante moltiplicativa, derivatori , integratori, poli e zeri semplici, coppie di poli e zeri complessi coniugati. Per la fase, come si è visto nella dimostrazione del lemma del mapping, vale la sovrapposizione degli effetti : se F(s) è nella forma 

allora la fase della F(s) vale : 
 ;
Per quanto riguarda il modulo, invece, la sovrapposizione degli effetti è dettata dall'utilizzo dei dB ; per le proprietà dei logaritmi , infatti , il prodotto dei moduli dei singoli contributi si traduce nella somma dei singoli contributi, espressi in dB : 
2)
I diagrammi di Bode dei singoli contributi si possono tracciare in modo qualitativo con tratti spezzati, ricorrendo poi a dei diagrammi di correzione per risalire all'andamento quantitativamente corretto , mostrati in figura 1 per il caso di una coppia di zeri ( o poli , basta invertire l'asse delle ordinate ) complessi coniugati.
  Figura 1a: Le correzioni da apportare al diagramma approssimato della fase di una coppia di zeri complessi coniugati Figura 1b: Le correzioni da apportare al diagramma approssimato del modulo di una coppia di zeri complessi coniugati
Di seguito sono riportati i diagrammi di Bode ( esatti ed approssimati , o asintotici ) dei singoli contributi che si possono presentare nel tracciare il diagramma complessivo di una qualsiasi funzione di trasferimento :
a)
costante moltiplicativa : esprimendo F(s) come prodotto di fattori , la costante k da luogo ad un modulo in dB pari a e ad una fase che vale :
a1) 0 se k>0 ( come mostrato con il tratto blu in figura 2 ) 
a2) -180° se k<0 ( come mostrato con il tratto rosso in figura 2) 
  Figura 2 : il contributo ai diagrammi di Bode della costante moltiplicativa
b)
Zeri nulli : ciascun derivatore da un contributo rettilineo ( su scala logaritmica ) per quanto riguarda il modulo , con pendenza pari a 20dB/decade e un contributo alla fase pari a 90° ; ricordando come si calcola il modulo di un numero complesso , si ha infatti : 
;
ricordando invece come si calcola la fase, e notando che la parte reale del termine derivato è nulla, si ha : 
.
in figura 3 sono rappresentati un derivatore semplice in blu ( 20dB/dec e 90° ), un derivatore doppio in rosso ( 40dB/dec e +180° di sfasamento) e un triplo polo zero in verde ( 60dB/dec e 270° di sfasamento in anticipo ).
  Figura 3 : I diagrammi di Bode dei derivatori
c)
poli nulli : con considerazioni simili a quelle viste per il derivatore, si può dimostrare che ciascun iintegratore contribuisce al modulo della funzione di trasferimento con un termine rettilineo a pendenza negativa di -20dB/decade e alla fase con un contributo costante di -90° ; in figura 3 sono rappresentati un integratore semplice in blu ( -20dB/dec e -90° ), un integratore doppio in rosso ( -40dB/dec e -180° di sfasamento) e un triplo polo nullo in verde ( -60dB/dec e -270° di sfasamento in anticipo ).
  Figura 5 : i diagrammi di Bode degli integratori
d)
zeri reali non nulli : in figura 6 sono riportati il contributo al modulo e alla fase di un zero reale non nullo ; in rosso è riportato l'andamento di uno zero negativo, in blu quello di uno zero positivo. In celeste è invece riportato l'andamento del diagramma di bode approssimato , detto anche diagramma di Bode asintotico, che approssima l'andamento della fase e del modulo con delle spezzate. I diagrammi asintotici approssimano con buona precisione i diagrammi reali alle alte frequenze e alle basse frequenze , mentre intorno alla frequenza naturale dello zero introducono un errore massimo di 3dB per il modulo e di 5.7° per la fase . Matematicamente le approssimazioni sono spiegate dai seguenti passaggi : l'espressione del modulo in dB è 
 , dove si è definito  , e:

d1) alle basse frequenze  , per cui il modulo è pressoché nullo 
d2) alle alte frequenze  e si è visto, analizzando il contributo del derivatore, che tale espressione corrisponde ad una pendenza positiva di 20dB/decade.
L'espressione della fase è invece :
 e :

d1) alle basse frequenze 
d2)alle alte frequenze  
In caso di poli e zeri multipli , le pendenze del contributo del modulo e le fasi alle basse frequenze si sommano.
  Figura 6: I diagrammi esatti e asintotici di uno zero reale non nullo
e)
poli reali non nulli : per i poli reali non nulli valgono considerazioni simili a quelle viste per gli zeri non nulli. In figura 7 sono riportati gli andamenti reali per polo negativo ( rosso ) e polo positivo ( blu ) , mentre in celeste è riportato il diagramma asintotico costruito mediante spezzate. Va notato che , mentre nel diagramma del modulo di uno zero non nullo, la spezzata resta costantemente al di sotto dell'andamento esatto , per cui la correzione da apportare è di +3dB in corrispondenza di  , nel diagramma del polo è l'andamento reale ad essere minorato dalla spezzata, per cui la correzione da apportare è di -3dB. Come per lo zero, inoltre, la pendenza della seconda spezzata si raddoppia nel caso di polo doppio ( -40dB/decade ) si triplica per per polo triplo ( -60dB/decade ), ecc..
  Figura 7: I diagrammi di Bode esatti ed asintotici di un polo reale non nullo
 

Rilevare margine di fase e margine di guadagno sui diagrammi di Bode

Come nei diagrammi di Nyquist, il margine di fase ed il margine di guadagno hanno un immediato significato geometrico anche nei diagrammi di Bode. A differenza dei diagrammi polari, però, nei diagrammi di Bode è più agevole valutare quantitativamente queste due grandezze.
1) Il margine di guadagno può essere valutato in due semplici passi, che sono rappresentati in figura 8:
1a) Si individua della pulsazione  , definita dall'equazione  , come intersezione fra il diagramma della fase e la linea tratteggiata verde in figura ; 
1b) Si valuta , sul diagramma del modulo, l'ampiezza del segmento congiungente ( lungo la verticale ) l'asse 0dB (linea tratteggiata celeste ) con il diagramma stesso. Se il segmento è contenuto nel semipiano dB<0 , il margine è positivo, altrimenti il margine di guadagno è negativo.

2) Il margine di fase può essere può essere ricavato con una procedura simile : 

2a) Si individua la pulsazione , definita in precedenza come  , dall'intersezione fra il diagramma del modulo e la linea tratteggiata celeste ( asse delle ascisse del primo diagramma , corrispondente ad una retta a modulo costante 0dB )
2b) Si valuta l'ampiezza del segmento che congiunge , nel grafico della fase , il punto del diagramma in tale frequenza con la retta a fase costante -180° : il margine va considerato positivo se il punto si trova sopra la retta , negativo altrimenti.
  come individuare margine di fase e di guadagno sui diagrmmi di Bode
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Margine di Fase e Margine di Guadagno

Lo studio del diagramma di Nyquist della F(s) risulta di particolare importanza perché non si limita a fornire un'indicazione "on/off" ( stabile/instabile ) sulla stabilità del sistema retroazionato , ma permette al progettista un'analisi più complessa sul comportamento del sistema stesso al variare del guadagno statico in catena aperta. Le fasi di questa analisi sono due:
1)
Classificazione della stabilità , in 4 categorie ; facendo riferimento , per semplicità , alla situazione di un sistema a retroazione unitaria ( per cui il punto critico è -1+j0 ) e di sistema in catena aperta stabile ( per cui si applica il criterio di Nyquist ridotto , la condizione di instabilità si riconduce al circondamento del punto critico da parte del diagramma polare ) , alle 4 categorie corrispondono altrettanti comportamenti del diagramma di Nyquist al variare del guadagno :
 
1a) stabilità incondizionata se, come visto nell'esempio del paragrafo precedente , il sistema è stabile per qualsiasi valore del guadagno statico. Sistemi di questo tipo sono caratterizzati da un diagramma di Nyquist che non interseca mai il semiasse reale negativo. Questa situazione è riportata in figura 1.
  Figura 3 : Il diagramma di Nyquist di 1/(s+1)
 
1b) stabilità regolare , se il sistema risulta stabile per un intervallo di guadagni Kst che va da 0 ad un valore limite Kmax . Rientrano in questa categoria i sistemi il cui diagramma di Nyquist interseca in un solo punto il semiasse reale negativo : nelle figure 3 e 4 sono mostrati i diagrammi di un sistema a tre poli reali negativi del tipo 
 
 
rispettivamente per Kst=30 ( in blu , in corrispondenza del quale il diagramma non circonda il punto critico e quindi il sistema retroazionato è stabile ) e per Kst=100 ( in rosso , in corrispondenza del quale il diagramma circonda il punto critico e quindi il sistema retroazionato è instabile ).
  Figura 2 : il passaggio dalla stabilità all'instabilità , al crescere del guadagno , per un sistema a stabilità regolareFigura 3 : il passaggio dalla stabilità all'instabilità , al crescere del guadagno , per un sistema a stabilità regolare. Dettaglio attorno al punto critico
 
1c) stabilità condizionata , se il sistema risulta instabile tanto per Kst<Kmin che per Kst>Kmax : esiste quindi un intervallo di valori che il progettista può assegnare al guadagno statico in modo da ottenere un sistema retroazionato stabile. Al di fuori di tale intervallo il sistema a ciclo chiuso risulta instabile. Questi sistemi sono caratterizzati da un diagramma di Nyquist che interseca in più punti il semiasse reale negativo , in modo che il punto critico venga circondato tanto per piccoli valori di Kst , che per grandi valori di Kst. Quando le intersezioni con il semiasse negativo sono molte, può anche accadere che esistano più intervalli di stabilità per il guadagno statico : perché però l'applicazione del criterio mantenga significato fisico è necessario che ciascuno di questi intervalli sia limitato superiormente. Altrimenti si parla di :
 
1d) stabilità paradossale , quando , per Kst>kn , il diagramma non circonda più il punto critico e quindi il sistema retroazionato è stabile anche per valori indefinitamente grandi del guadagno statico . Si parla di stabilità paradossale perché questa situazione è sintomo di un errore nello studio del sistema stesso : un motivo frequente è ad esempio un'eccessiva semplificazione nell'identificazione del modello della F(s) , che induce a trascurare poli non irrilevanti nella dinamica del sistema stesso.
2)
Quantificazione della stabilità , mediante la definizione dei margini di stabilità . Non è infatti sufficiente , ai fini della sintesi di un sistema di controllo, affermare che il sistema progettato è stabile : bisogna specificare quanto il sistema realizzato è lontano dalla condizione di instabilità . 
Se infatti il sistema progettato è , già "sulla carta", prossimo al limite di instabilità , ci si può ritrovare, "sul campo ", con un sistema di fatto instabile a causa di diversi fattori : 
- approssimazioni adottate in fase di progetto ; 
- variazioni parametriche rispetto al modello considerato ; 
- insorgenza di disturbi non preventivati.

Si è detto in precedenza che , per sistemi stabili in catena diretta , la condizione di instabilità è rappresentata dal circondamento , da parte del diagramma di Nyquist , del punto critico ( -1+j0 , nel caso di retroazione unitaria ) : a partire da questa osservazione si sono definiti due parametri che permettano la quantificazione di cui sopra.
 
2a) margine di guadagno : riferendoci per semplicità ad un sistema del tipo 1a) , al crescere di Kst l'intersezione del diagramma con il semiasse reale negativo si avvicina al punto -1+j0 , fino a circondarlo in corrispondenza di un valore Kst=kmax. Dicendo  la frequenza per cui avviene tale intersezione ( cioè  ) , la distanza fra tale punto ( indicato in figura 4 con la lettera P ) e -1+j0 ( indicato in figura 4 con la lettera C ) è una buona misura di quanto il sistema sia distante dall'instabilità. 
Tale quantità , che è rappresentata in figura 4 dal segmento PC e si può valutare matematicamente come  , è una prima possibile definizione del margine di guadagno.
  La distanza dall'instabilità di un sistema a stabilità regolare ( una sola intersezione con il semiasse negativo
 
Non si tratta tuttavia della definizione più utilizzata , pertanto si è indicato questo paramentro con mg' . La soluzione più diffusa consiste infatti nel definire il margine di guadagno come il rapporto fra il segmento OP ed il segmento OC : 
Trattando sistemi a retroazione unitaria si ha OC=1 , perciò il margine di guadagno si riduce a :
Il motivo del maggiore utilizzo di mg a scapito di mg' risiede nel fatto che , essendo un rapporto, mg si può esprimere anche in dB ed è direttamente rilevabile dai diagrammi di Bode della funzione di trasferimento: 

;

Per i sistemi a retroazione unitaria il logaritmo di OC è nullo e quindi il margine di guadagno si riduce a :


Si noti che OP è il modulo della funzione di trasferimento in corrispondenza dell'intersezione con il semiasse reale negativo , quindi per sistemi stabili ha valori inferiori all'unità : il logaritmo è quindi negativo e il margine di fase è positivo. Per sistemi a retroazione unitaria instabili, invece, tale segmento ha ampiezza maggiore di 1 e il corrispondente logaritmo è positivo : il margine di fase è negativo.
 
2b) margine di fase : la figura 5 mostra che il margine di guadagno non è sufficiente , da solo, a caratterizzare completamente la distanza del sistema dal limite di instabilità. Nella figura sono infatti mostrati i diagrammi di Nyquist di due sistemi caratterizzati dallo stesso margine di guadagno ( stessa lunghezza del segmento PC , in quanto intersecano il semiasse reale negativo nello stesso punto ) : nonostante ciò , è evidente che il sistema tracciato in rosso è più prossimo all'instabilità del sistema tracciato in blu . In altre parole, nel sistema in rosso è sufficiente un minore incremento di Kst per ottenere un sistema a ciclo chiuso instabile , mentre per il sistema tracciato in blu è necessario un incremento maggiore .
  Figura 5 : il diagramma di Nyquist di due sistemi con lo stesso margine di guadagno
 
Risulta utile, allora, definire una seconda grandezza che sia in grado di distinguere fra queste due situazioni. Per fare ciò si parte da una considerazione simile a quella effettuata per definire il margine di guadagno : il circondamento del punto critico avviene , per sistemi a retroazione unitaria, quando il modulo della funzione di trasferimento in catena aperta diventa pari ad 1. Definiamo pulsazione di attraversamento ,  , la "frequenza" per cui ciò accade : 
.

Possiamo pensare la pulsazione di attraversamento come la pulsazione in corrispondenza della quale il diagramma di Nyquist interseca la circonferenza unitaria : se in corrispondenza di la fase è inferiore a -180° l'intersezione avviene nel 3° quadrante ( figura 6A ) e il punto critico non viene circondato , perciò il sistema a ciclo chiuso è stabile. Se invece in corrispondenza di  la frequenza è inferiore a -180° l'intersezione con la circonferenza unitaria avviene nel 2° quadrante e il punto critico viene circondato : il sistema a ciclo chiuso è instabile ( figura 6B ).
  Figura 6A : se il sistema è stabile l'intersezione con la circonferenza unitaria avviene nel 3° quadranteFigura 6B : se il sistema è instabile l'intersezione con la circonferenza unitaria avviene nel 2° quadrante
 
Risulta quindi naturale definire il margine di fase come la "distanza" fra la fase della funzione di trasferimento alla pulsazione di attraversamento e il valore critico di -180°:

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Tracciare i diagrammi di Nyquist o diagrammi polari

I diagrammi di Nyquist o diagrammi polari

 
Per tracciare quantitativamente il diagramma di Nyquist della F(s) è necessario calcolare il modulo e la fase di F(jw) per un gran numero di valori di w e riportare i punti corrispondenti sul piano immagine Re[F(jw)],Im[F(jw)] . Se il sistema in catena aperta è stabile , ed ammette quindi risposta a regime per stimoli sinusoidali , queste grandezze possono essere rilevate sperimentalmente costruendo la risposta armonica. 
Un ottimo strumento che implementa tale calcolo è il Control System Toolbox per Matlab , costituito da un insieme di funzioni appositamente dedicate all'analisi e alla sintesi dei sistemi di controllo. Fra queste funzioni vi è Nyquist(tf(num,den)) , che riceve due vettori ( num e den ) contenenti i coefficienti del polinomio a numeratore e denominatore della F(s) e plotta il relativo diagramma di Nyquist : tf sta per transfer function ed è una delle funzioni a disposizione del Control System Toolbox per definire un sistema lineare stazionario ; le altre funzioni per la costruzione di un sistema lineare stazionario sono zpk ( modello zero-pole-gain ) , ss ( modello in spazio di stato ) , frd ( frequency response data , che crea un modello a partire dalla risposta in frequenza del sistema ) . 
Non è sempre necessario, però, tracciare il diagramma quantitativo : per determinare la stabilità del sistema a ciclo chiuso, infatti, è sufficiente conoscere il numero di giri che il diagramma di Nyquist compie attorno al punto critico; pertanto ci si può accontentare di un andamento qualitativo , prestando attenzione alla scala e al dato quantitativo solo nell'intorno di -1+j0 ; elencheremo ora un certo numero di regole utili al tracciamento del diagramma di Nyquist secondo questo principio : 
1) Il diagramma di Nyquist è simmetrico rispetto all'asse reale , perché i sistemi lineari stazionari sono rappresentati da funzioni di trasferimento razionali a coefficienti reali , per le quali F(-jw)=F*(jw) . Per ottenere il diagramma completo è sufficiente quindi tracciare il semi-diagramma per w>0 e ribaltarlo rispetto all'asse reale. Questo spiega perché il diagramma di Nyquist può essere tracciato sperimentalmente a partire dalla risposta armonica : per le w positive, modulo e fase della F(jw) possono essere ricavate stimolando i blocchi della catena diretta con ingressi sinusoidali e rilevando l'attenuazione e lo sfasamento dell'uscita. Per le frequenze negative questo non è ovviamente possibile e i punti corrispondenti nel diagramma di Nyquist non hanno significato fisico, ma pura valenza matematica . Grazie a questa simmetria è' comunque possibile ricavarli da quelli a frequenze reali mediante ribaltamento.
2) Se F(s) è una funzione razionale strettamente propria, la semicirconferenza di raggio infinito che circonda il semipiano Re>0 si mappa nell'origine di Re[F(jw)],Im[F(jw)] ;se invece numeratore e denominatore hanno lo stesso grado ( ricordiamo che le funzioni razionali improprie non sono fisicamente realizzabili ) , la semicirconferenza si mappa in un punto finito ottenibile come:
 .
Per calcolare la fase con cui il diagramma di Nyquist arriva in questo punto è sufficiente ricordare che , per  , ciascuno zero di ordine k contribuisce con la fase  , mentre ciascun polo di ordine k contribuisce con la fase . Complessivamente, quindi, il diagramma di Nyquist arriva nel punto considerato con la fase
,
dove n è il grado del denominatore della F(s) ed m il grado del numeratore.
3) In w=0 il diagramma di Nyquist parte dai seguenti punti :
  3a) dall'asse reale (fase nulla) , con modulo pari al guadagno statico , se la F(s) non presenta né integratori (poli nulli ) né derivatori (zeri nulli ) ;
 
3b) da un punto all'infinito , con quadrante determinato dal numero di integratori , se la F(s) presenta poli nulli . Se ad esempio si ha un solo integratore , il diagramma di Nyquist, per w=0 , partirà dall'asse immaginario con modulo  . Se invece gli integratori sono due, il diagramma partirà da un punto che diverge verso la direzione negativa dell'asse reale , ecc ;
 
3c) dall'origine del piano complesso , se la F(s) presenta derivatori. La fase con cui il diagramma parte da questo punto , dipende, come per il caso 3b , dal numero di derivatori. Detto k il numero di zeri nulli , la fase iniziale sarà
 .
4) Un altro punto significativo per tracciare qualitativamente il diagramma di Nyquist è il limite per  : questo punto permette infatti di intuire in che direzione muove il diagramma di Nyquist per andare dalla frequenza nulla a frequenza infinita. Se non si vuole calcolare esplicitamente il limite , è sufficiente tenere conto delle costanti di tempo di poli e zeri della f.d.t. e valutare il modulo per una frequenza che corrisponda ad un tempo sufficientemente maggiore della costante di tempo più grande.

Tracciamento del diagramma di Nyquist per una semplice f.d.t.

Per esemplificare l'utilizzo delle regole sopra descritte , presentiamo ora i diagrammi di Nyquist di una funzione di trasferimento elementare , che presenta un solo polo reale negativo.
DIAGRAMMA POLARE DI UNA F.D.T. CON UN POLO REALE NEGATIVO : Prendiamo ad esempio un polo in -1 e guadagno statico unitario , per cui la funzione di trasferimento è :
Per quanto detto al punto 2) , il  è nullo e la fase di F(s) per frequenze infinite è  : il diagramma di Nyquist alle alte frequenze tende all'origine del piano caratteristico e vi arriva tangente al semiasse immaginario negativo, come mostra la figura 1.
Figura 1 : Il diagramma di Nyquist di 1/(s+1) per frequenze infinite tende all'origine del piano caratteristico con direzione tangente al semiasse immaginario negativo
La funzione di trasferimento non presenta né zeri né poli nulli e il guadagno statico è 1 , pertanto per w=0 il diagramma parte dal punto 1+j0 ; per  la fase della f.d.t. tende a valori negativi ( si pensi al diagramma di Bode di un sistema con un solo polo negativo ) , quindi il diagramma di Nyquist si sposta da 1+j0 verso il quarto quadrante , come mostrato in figura 2.
Figura 2 : il dettaglio del diagramma di Nyquist di 1/(s+1) per 2=0
Da quanto si è detto sul comportamento della f.d.t. per  , anche alle alte frequenze il diagramma di Nyquist resta nel quarto quadrante : si può intuire che esso resta interamente contenuto in questo quadrante con un andamento regolare del tipo indicato in figura 3.
Figura 3 : Il diagramma di Nyquist di 1/(s+1)
Si può concludere , pertanto, che un sistema di controllo con un solo polo negativo in catena diretta sarà stabile in catena chiusa qualunque siano:
1) la costante di retroazione k : il diagramma polare è infatti contenuto interamente entro il primo e quarto quadrante e non circonderà mai alcun punto -1/k+j0 , indipendentemente dal valore finito di k ; 
2) il guadagno statico : si può notare , infatti , che se avessimo avuto una funzione del tipo Kst/(s+p) sarebbe variato il punto di intersezione fra il diagramma di Nyquist e il semiasse reale positivo, ma il diagramma stesso sarebbe comunque stato interamente compreso nel 1° e 4° quadrante, senza possibilità di circondare il punto critico.
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Il Lemma del Mapping e il Criterio di Nyquist

Il lemma del Mapping e il Criterio di Nyquist

 
L'approccio allo studio della stabilità presentato nel paragrafo precedente presenta due svantaggi sostanziali :

1) Richiede la conoscenza esplicita della W(s) a ciclo chiuso , o almeno del suo denominatore ( il polinomio caratteristico ), così da poterne calcolare i poli . Il criterio che andremo or ora a formulare si basa invece sul Diagramma di Nyquist della F(s) , cioè della funzione di trasferimento in catena aperta ( se consideriamo la presenza del processo P(s), del controllore G(s) e della costante di retroazione K si ha F(s)=K*G(s)*P(s) ). Il diagramma di Nyquist (detto anche diagramma polare ) di una funzione razionale F(s) è il luogo degli estremi del vettore P(jw) , rappresentato sul piano Re[P(jw)],Im[P(jw)] , per w che varia da  a  ; si può quindi costruire sperimentalmente osservando la risposta in frequenza della catena di blocchi che costituiscono l'anello aperto del sistema di controllo. 

2) Non è orientato alla sintesi dei sistemi di controllo a controreazione ; il metodo che andremo a trattare ora , invece , fornisce indicazioni immediate sulle modifiche da apportare alla F(s) ( e quindi al controllore) perché il sistema a ciclo chiuso risulti più o meno vicino al limite dell'instabilità : queste anticipazioni saranno più chiare quando si sarà esaminato l'effetto del guadagno ( o dell'aggiunta di un integratore o di un derivatore) sul diagramma di Nyquist.

Relazione fra il polinomio caratteristico in catena aperta ed il polinomio caratteristico a ciclo chiuso

TEOREMA1: Fra il polinomio caratteristico a ciclo chiuso  e quello in catena aperta sussiste la relazione:

DIMOSTRAZIONE : Indicando con  la funzione di trasferimento sul ramo diretto, si avrà che la f.d.t in catena aperta è  e la f.d.t. a ciclo chiuso è  . 
Si è definito  il denominatore della W(s) , cioè il polinomio caratteristico a ciclo chiuso. In base a questa definizione, quando si va a calcolare 1+F(s) , si ottiene proprio :  .

Un metodo per determinare il numero di poli e zeri entro il piano Re[s]>0

Indicando con Zap il numero di radici a parte reale positiva di  e con Zch il numero di radici a parte reale positiva di  , enunciamo un teorema, detto Lemma del Mapping, che permette di determinare N=Zch-Zap dal diagramma di Nyquist di 1+F(s) . Il lemma sarà enunciato per una funzione razionale fratta G(s) qualsiasi, dotata di un certo numero di poli P e zeri Z racchiusi in un'opportuna regione del piano complesso : scegliendo poi come regione il semipiano Re>0 e come G(s) la 1+F(s) ( che ha a numeratore  e a denominatore  , per cui Z=Zap e P=Zch ) si utilizzerà il lemma per derivare un criterio di stabilità.
LEMMA DEL MAPPING : Data una funzione razionale G(s) e una curva chiusa C del piano di Gauss Re[s],Im[s] , la differenza N fra il numero di zeri Z e il numero di poli P racchiusi dalla curva G è pari al numero di giri che l'immagine C1 di C , secondo G(s) , compie attorno all'origine del piano Re[w=G(s)],Im[w=G(s)]. La curva C deve essere semplice e non deve contenere né poli né zeri di G(s).
Figura 1 : Significato grafico del Lemma del Mapping
DIMOSTRAZIONE INTUITIVA DEL LEMMA DEL MAPPING : Questa "dimostrazione" non costituisce una prova rigorosa del lemma del mapping , ma intende semplicemente presentare in modo intuitivo il significato del lemma del Mapping in una situazione particolarmente semplice , come quella di una G(s) con soli poli e zeri semplici.

Fattorizzando il numeratore ed il denominatore della G(s) nella forma:


la fase di w=G(s) è data dalla somma algebrica delle fasi dei vettori:

.
Immaginiamo di far compiere ad s un giro completo sulla curva C e osserviamo come variano la fase di questi vettori ; si possono osservare tre diversi comportamenti , a seconda che : 

1) i poli o gli zeri siano esterni rispetto alla curva C : in questo caso, al termine di un giro completo di s su C , la fase dei termini  e  ha riassunto il valore iniziale , come mostrato in figura 2. I poli e gli zeri esterni alla curva C non danno quindi contributo alla variazione della fase di G(s) sul piano immagine, al termine di un giro completo.
Figura 2 : Il contributo alla variazione di fase di G(s) dovuto ad uno zero ( o ad un polo) che si trova all'esterno della regione considerata

2) gli zeri siano interni alla curva C : come mostrato in figura 3 , quando s ha percorso un giro completo su C in senso antiorario, il vettore  ha subito una variazione di fase pari a .

3) i poli siano interni alla curva C : vale lo stesso ragionamento del punto precedente, con la differenza che la variazione di fase dovuta a  si sottrae nel computo della fase di G(s) , quindi il contributo è pari a -.
Complessivamente quindi, la fase di G(s) , per s che compie un giro completo sulla curva C , ha subito una variazione pari a :


ovvero ha compiuto un numero di giri in senso antiorario attorno all'origine di di Re[G(s)],Im[G(s)] pari a :

N=Z-P
PARTICOLARIZZAZIONE DEL LEMMA DEL MAPPING PER LO STUDIO DELLA STABILITA' DEI SISTEMI A CICLO CHIUSO: L'enunciato del lemma del mapping vale per tutte le funzioni razionali G(s) e per tutte le curve semplici , chiuse , che non incontrano poli e zeri della G(s) ; si tratta a questo punto di applicarlo a una G(s) e ad un curva C che permettano di derivare un criterio di stabilità asintotica ( nessun polo a ciclo chiuso con parte reale positiva ) : 
1) Essendo interessati a N=Zch-Zap , la funzione G(s) scelta è , per quanto detto nel teorema1, 1+F(s). In particolare , il numero di giri che 1+F(s) compie attorno all'origine del piano complesso è pari al numero di giri che F(s) compie attorno al punto -1+J0 del piano immagine, detto punto critico
2) Essendo interessati ad una curva C che racchiuda al proprio interno il semipiano Re>0 ( siamo interessati al numero di poli instabili a ciclo chiuso ) , scegliamo l'asse immaginario , percorso nel senso di jw crescente , completato da una semicirconferenza di raggio infinito che racchiude il semipiano Re>0 , come indicato in figura 4. Questo percorso viene anche detto cammino di Nyquist.
la semicirconferenza adottata per tracciare il sistema di Nyquist
DERIVAZIONE DEL CRITERIO DI NYQUIST DAL LEMMA DEL MAPPING : Ricordando la definizione di Diagramma di Nyquist , l'immagine secondo F(s) della curva appena descritta è proprio il diagramma di Nyquist di F(s) . Osservando quindi quanti giri questo diagramma compie attorno al punto critico -1+j0 , possiamo risalire a N=Zch-Zap. Ma in fase di sintesi Zap è nota , perché siamo noi che stiamo progettando la F(s) , pertanto conosciamo anche Zch=N+Zap. Imponendo che Zch=0 ( il sistema a ciclo chiuso è stabile solo se non ha poli a parte reale positiva ) , perveniamo al Criterio di Nyquist , che impone di verificare la condizione N=-Zap .

Criterio di Stabilità asintotica di Nyquist

CRITERIO DI NYQUIST NEL CASO GENERALE : Condizione necessaria e sufficiente perché un sistema con controreazione unitaria , caratterizzado da una f.d.t. ad anello aperto F(s) , sia asintoticamente stabile è che il diagramma di Nyquist di F(s) compia un numero di giri in senso antiorario attorno al punto critico -1+j0 pari al numero di poli a parte reale positiva di F(s) [N=-Zap] . Se il ramo di retroazione è costituito da una costante di trasduzione k , i giri da considerare sono attorno al punto -1/k+j0.
CRITERIO DI NYQUIST NEL CASO DI FUNZIONE DI TRASFERIMENTO AD ANELLO APERTO STABILE : Inizialmente il criterio di Nyquist fu formulato per sistemi asintoticamente stabili ad anello aperto , cioè caratterizzati da Zap=0 . In questa versione è noto anche come Criterio di Nyquist ridotto e afferma che : condizione necessaria e sufficiente perché un sistema con F(s) stabile sia asintoticamente stabile anche a ciclo chiuso è che il diagramma di Nyquist di F(s) non circondi il punto critico -1+j0 ( -1/k+j0 se il ramo inverso è caratterizzato da una costante di retroazione k ).
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Stabilità dei Sistemi a Ciclo Chiuso ( a retroazione )

Lo Studio della Stabilità dei Sistemi a ciclo chiuso o a retroazione

 
Un primo possibile metodo per studiare la stabilità dei sistemi di controllo a contoreazione è quello generale valido per tutti gli altri sistemi : si prende la rappresentazione in spazio di stato , o la rappresentazione implicita mediante trasformate, e si analizza la posizione nel piano complesso dei poli a ciclo chiuso.

Criteri per sistemi MIMO in spazio di stato

Partendo dalla rappresentazione in spazio di stato e ricordando le definizioni della stabilità date nel paragrafo precedente, si possono enunciare i seguenti teoremi : 

TEOREMA 1 : Un sistema L.S.D.O.F. è stabile internamente nell'origine se tutti gli autovalori semplici della matrice dinamica sono a parte reale non positiva e se gli autovalori multipli sono a parte reale strettamente negativa.
TEOREMA 2 : Un sistema L.S.D.O.F. è stabile asintoticamente internamente nell'origine se tutti gli autovalori della matrice dinamica sono a parte reale strettamente negativa.
TEOREMA 3 : Un sistema L.S.D.O.F. è stabile esternamente (BIBO) se gli autovalori semplici della matrice dinamica relativi a modi osservabili sono a parte reale non positiva e gli autovalori multipli relativi a modi osservabili sono a parte reale strettamente negativa.
TEOREMA 4 : Un sistema L.S.D.O.F. è stabile esternamente nella condizione iniziale nulla se gli autovalori della matrice A relativi a modi raggiungibili ed osservabili sono a parte reale negativa.
Con riferimento alla rappresentazione in spazio di stato (1) del paragrafo precedente, la matrice dinamica per il processo è la matrice A e quindi ad essa vanno applicati i criteri sopra esposti. Considerando invece un sistema retroazionato, si deve prima analizzare come viene modificata questa matrice , per poi applicare i criteri alla dinamica complessiva. 
Considerando per semplicità la seguente rappresentazione in spazio di stato ( si è trascurato il disturbo z e si è indicato con e l'ingresso sul ramo diretto , poiché il controllore elabora il segnale errore e non il set-point ) :
e supponendo di realizzare una retroazione dall'uscita con una matrice di costanti K :
Figura 1 : Lo schema con retroazione costante considerato
le equazioni in spazio di stato del sistema a ciclo chiuso saranno :
I criteri espressi nei teoremi 1,2,3,4 andranno quindi applicati alla matrice A-BKC.

Criteri per sistemi MIMO rappresentati con matrici di trasferimento

Agli stessi criteri ed alle stesse conclusioni si può pervenire partendo dalla rappresentazione implicia mediante trasformate. Lo schema di figura 2 suggerisce infatti che gli autovalori della matrice dinamica coincidono coi poli della  , gli autovalori osservabili coincidono con i poli della matrice  , mentre gli autovalori osservabili e raggiungibili coincidono coi i poli della matrice W(s).
Figura 2 : La relazione fra gli autovalori della matrice dinamica e i poli delle matrici di trasferimento
 
I teoremi precedenti si possono quindi riformulare come segue :
TEOREMA 1A : Un sistema L.S.D.O.F. è stabile internamente nell'origine se tutti i poli semplici della  sono a parte reale non positiva e i poli multipli sono a parte reale strettamente negativa.
TEOREMA 2A : Un sistema L.S.D.O.F. è stabile asintoticamente internamente nell'origine se tutti i poli della  sono a parte reale strettamente negativa. 
TEOREMA 3A : Un sistema L.S.D.O.F. è stabile esternamente (BIBO) se i poli semplici della matrice  sono a parte reale non positiva e i poli multipli sono a parte reale strettamente negativa.
TEOREMA 4A : Un sistema L.S.D.O.F. è stabile esternamente nella condizione iniziale nulla se i poli della W(s) sono a parte reale negativa.
 
Per rendere operativi questi criteri non resta che calcolare le matrici indicate. Per il sistema originario valgono le seguenti relazioni:


 ,
mentre per il sistema retroazionato è sufficiente, come visto in precedenza, sostituire A con A-BKC.

Criteri per sistemi SISO raggiungibili ed osservabili

Se il sistema è raggiungibile ed osservabile i poli della  , della  e della W(s) coincidono , pertanto, come si è osservato nelle lezioni precedenti, la stabilità interna, la stabilità esterna e la stabilità esterna nell'origine sono equivalenti : d'ora in poi si parlerà quindi indistintamente di stabilità. D'ora in poi si considerà il caso di sistemi SISO ( Single Input Single Output) , per i quali dim(u)=dim(y)=1 : la W(s) fra ingresso ed uscita del sistema a ciclo chiuso , quindi, non è più una matrice di funzioni razionali, ma una funzione razionale. Lo studio della stabilità può avvenire studiando le radici del denominatore della :


ovvero  . Un utile strumento per determinare quando le radici di questo polinomio siano a parte reale negativa è il Criterio di Routh , che permette di stabilire il segno delle radici del polinomio ( della loro parte reale, se complesse ) , senza doverle calcolare esplicitamente. 

Teorema di Routh e Criterio di Routh

Dato il polinomio  si costruisca la seguente matrice (detta matrice di Routh-Hurwitz in omaggio all'altro matematico che formulò un criterio analogo parallelamente a Routh) :


dove  ,  e i coefficienti ci, di, ecc si costruiscono con la stessa regola procedendo verso il basso ( l'ultima riga conterrà un solo elemento e quindi non sarà più possibile calcolare altri coefficienti). 

Il Teorema di Routh afferma che il numero di radici nel semipiano a parte reale positiva è pari ai cambiamenti di segno presenti nella prima colonna di tale matrice . Il criterio di stabilitàderivato da questo teorema afferma quindi che condizione necessaria e sufficiente perché tutte le radici di  siano a parte reale negativa è che , supposto an>0 , tutti i coefficienti della prima colonna della tabella di Routh siano positivi.

In realtà prima di costruire la tabella di Routh è buona regola verificare il segno dei coefficienti stessi del polinomio ; si può infatti dimostrare che condizione necessaria perché le radici siano tutte a parte reale negativa è che tutti i coefficienti a0,...,an siano positivi . Pertanto se anche un solo coefficiente manca o è negativo si può concludere che il sistema a ciclo chiuso non è stabile asintoticamente ( criterio di instabilità ).
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Stabilità dei sistemi di controllo

La Stabilità dei Sistemi di Controllo

L'analisi e la sintesi dei sistemi di controllo considerati in questi appunti farà sempre riferimento a sistemi lineari, stazionari , di ordine finito . Considerando quindi la rappresentazione in spazio di stato nel caso di sistemi a tempo continuo, questa sarà del tipo differenziale: 

Le definizioni di stabilità si riferiranno a questa rappresentazione, ma in seguito si passerà alla rappresentazione esterna mediante funzioni di trasferimento : il criterio di Nyquist verrà formulato a partire dalla funzione di trasferimento in catena diretta F(s). Il passaggio da una rappresentazione all'altra si ottiene scrivendo le espressioni dell'evoluzione dello stato e dell'uscita :
ed effettuandone la trasformazione secondo Laplace :
Si supporrà inoltre che le condizioni iniziali siano sempre nulle : 

Stabilità Interna

La stabilità interna riguarda la limitatezza della risposta x(t) descritta in (2) rispetto a perturbazioni dello stato iniziale. In generale la stabilità interna è una proprietà che riguarda una traiettoria e dipende quindi dallo stato iniziale e dall'ingresso. Fra tutte le traiettorie, quelle più interessanti da studiare sono i punti di equilibrio ( un punto si dice di equilibrio se , per almeno un ingresso, la traiettoria che ha origine nel punto coincide col punto stesso ), perché lo studio della stabilità di una qualsiasi traiettoria si può ricondurre allo studio della stabilità di un punto di equilibrio( considerando il sistema errore ).
Un punto di equilibrio xe si dice stabile se , comunque prendiamo  , esiste  tale che , se  , allora  in ogni istante di tempo successivo all'istante iniziale. In particolare, considerando sistemi tempo-invarianti , si può prendere l'istante iniziale nullo. Se, oltre ad essere verificata la condizione precedente, esiste anche  tale che  , allora il punto di equilibrio si dice asintoticamente stabile. 
Nei sistemi lineari la stabilità di un qualsiasi movimento equivale alla stabilità dell'origine del sistema libero associato ( B,M=0 in (1) ) , pertanto si può parlare di stabillità del sistema (che nel caso generale è invece una dicitura impropria) . In base alla definizione precedente, quindi , il sistema è stabile se comunque prendiamo  , esiste  tale che , se  , allora  in ogni istante di tempo successivo a quello iniziale .

Stabilità esterna o stabilità BIBO

La stabilità esterna o BIBO ( bounded input, bounded output ) si ha se , comunque prendiamo un limite superiore per l'ingresso  e uno stato iniziale  , allora esiste un limite superiore per l'uscita  , cioè se è  allora .
Si intuisce facilmente che questa condizione può essere verificata anche se una componente dello stato è illimitata ma , per questioni di osservabilità , non produce effetti sull'uscita , pertanto la stabilità esterna è una condizione meno stringente della stabilità interna : se un sistema lineare è stabile internamente nell'origine allora è anche esternamente stabile . Perché valga il viceversa deve invece essere verificata anche l'osservabilità , perciò un sistema stabile esternamente e osservabile è anche stabile internamente.

Stabilità esterna ( BIBO ) nello stato zero

La stabilità BIBO nell'origine è una proprietà ancora meno stringente della stabilità BIBO : nella definizione precedente, infatti, l'illimitatezza della y(t) poteva dipendere tanto dall'ingresso quanto dallo stato iniziale  . Se la condizione iniziale viene presa nulla si perviene alla seguente definizione : un sistema lineare si dice stabile esternamente nell'origine se , comunque si prende  esiste un  tale che , se l'ingresso è limitato superiormente da M ( ) , allora anche l'uscita è limitata superiormente da Nm ( ) . 
Se un sistema è stabile esternamente è anche stabile esternamente nell'origine, mentre perché valga il viceversa deve essere soddisfatta la condizione di raggiungibilità : se un sistema è stabile esternamente nell'origine e raggiungibile , allora è anche stabile esternamente.

Raggiungibilità ed Osservabilità dei sistemi considerati

Nel proseguio di questi appunti si studierà la stabilità dei sistemi di controllo a partire dalla rappresentazione esterna ingresso/uscita , cioè mediante la funzione di trasferimento W(s) in (2). L'unica stabilità che si può dedurre da questa funzione è la stabilità esterna con condizione iniziale nulla : d'ora in poi s'ipotizzerà pertanto che i sistemi studiati siano raggiungibil ed osservabili . Per quanto detto finora, si può infatti affermare che se un sistema è raggiungibile ed osservabile allora la stabilità esterna con condizione iniziale nulla equivale alla stabilità interna, come mostrato in figura 1.
Figura 1: le relazioni fra le varie definizioni di stabilità presentate in questo paragrafo
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I requisiti di un sistema di controllo

I requisiti di un sistema di controllo : fedeltà di risposta e stabilità

Quando si affronta la sintesi di un sistema di controllo i due requisiti fondamentali che vanno soddisfatti sono :

- la stabilità . A breve saranno date le definizione rigorose di stabilità : intuitivamente si può vedere la stabilità come la capacità del sistema di reagire a perturbazioni limitate con risposte limitate . Le perturbazioni possono essere variazioni delle condizioni iniziali o degli ingressi , mentre la risposta può essere nello stato o in uscita : si parla così di stabilità interna nell'origine, di stabilità esterna , di stabilità esterna nell'origine .

- la fedeltà di risposta , cioè la capacità del sistema di produrre uscite conformi a quelle desiderate . Tale conformità va studiata in relazione agli ingressi forniti al sistema, ai disturbi e alle variazioni parametriche.

Si intuisce come , prima di affrontare la sintesi del controllore , un corso di Controlli Automatici debba fornire gli strumenti per quantificare questi due requisiti , mediante un'opportuna analisi dei sistemi di controllo: si perverrà quindi a concetti come il margine di fase e margine di guadagno ( per quantificare la stabilità ) o ai parametri per descrivere la risposta in regime transitorio e in regime permanente, o ancora alla sensibilità che quantifica la reazione del sistema alle variazioni parametriche.
L'analisi che seguirà nei prossimi paragrafi sarà comunque costantemente "orientata alla sintesi" :

- lo studio della stabilità terrà conto del fatto che lo schema di controllo più diffuso è quello a controreazione e ci si chiederà quali condizioni deve rispettare la funzione di trasferimento in catena aperta F(s) perché il sistema a ciclo chiuso sia stabile ( criterio di Nyquist ).

- non potendo caratterizzare in modo esaustivo la risposta del sistema ( è impensabile considerare l'andamento analitico della risposta per tutti i possibili ingressi o disturbi ) , ci si limiterà a considerare le classi di stimoli più diffuse nei sistemi di controllo : il gradino unitario per la risposta transitoria, i polinomi e le sinusoidi per la risposta a regime permanente (tali restrizioni non sono comunque eccessivamente limitanti finché si resta nell'ambito dei sistemi lineari stazionari. Diversa è la questione passando a considerare sistemi non lineari) . Allo stesso tempo la caratterizzazione della risposta del sistema avverrà mediante pochi parametri significativi ( tempo di salita sovraelongazione , tempo di assestamento ) che avranno un immediato corrispettivo in alcune caratteristiche del controllore da progettare ( banda passante , modulo alla risonanza della funzione di trasferimento in catena aperta).
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Proprietà del Controllo in Controreazione

Esempi di schemi di controllo e proprietà del controllo in controreazione

 
Per chiarire il significato degli schemi di controllo presentati nel paragrafo precedente , ed evidenziarne pregi e difetti, si può considerare come esempio il controllo del livello del liquido in un serbatoio. Il serbatoio eroga un flusso nominale Qu verso una rete utilizzatrice : la variabile controllata è il livello L , mentre la variabile controllante è il flusso in entrata Qi ( Qu è un parametro del modello , sul quale non è consentito agire ). Le tre strategie si traducono nelle seguenti azioni di controllo:

- il controllo in catena aperta consiste nel fornire al serbatoio un flusso in entrata pari al flusso nominale in uscita. Se però la rete utilizzatrice presentasse per un certo intervallo di tempo un fabbisogno inferiore a quello nominale , i due flussi non si compenserebbero ed il livello del serbatoio tenderebbe a salire oltre il valore desiderato ( col rischio di un overflow ). Questa situazione è mostrata in figura 1.
Figura 1 : Il controllo del serbatoio secondo lo schema in catena aperta
- il controllo con compensazione diretta consiste nel misurare con un rivelatore di portata il flusso in uscita Qu e fornire in ingresso lo stesso valore per Qi . Questa soluzione ovvia al problema delle variazioni dovute al fabbisogno della rete utilzzatrice, ma non è in grado di rilevare, ad esempio, possibili variazioni dovute all'evaporazione del liquido o ad eventuali perdite nel serbatoio. Questa situazione è mostrata in figura 2. 
Figura 2 : Il controllo del serbatoio secondo lo schema a compensazione diretta
- l'unica soluzione che permette di rilevare tutti questi disturbi agenti sul sistema è l'introduzione di un galleggiante , o di un qualsiasi altro trasduttore di livello, in modo da calcolare il flusso in entrata come funzione della differenza L-Ldes ( segnale errore ). Questa scelta corrisponde allo schema di controllo in controreazione ( figura 3 )
Figura 3 : Il controllo del serbatoio in catena chiusa secondo lo schema a reazione negativa
L'esempio evidenzia due delle proprietà fondamentali del controllo a controreazione:

- riduzione degli effetti dovuti a variazioni parametriche nel modello del processo ( ad esempio le variazioni del flusso in uscita ) ; 

- riduzione dell'effetto dei disturbi in uscita al processo ( ad esempio le variazioni dovute all'evaporazione e alle perdite del serbatoio ) . 

Il caso del serbatoio permette inoltre di esemplificare uno dei limiti entrinseci della controreazione stessa : la necessità di una informazione attendibile sull'uscita. Si dimostrerà in seguito che l'errore di trasduzione si può schematizzare come un rumore additivo sul ramo di retroazione : a differenza dei disturbi in uscita e nel ramo diretto, che possono essere ridotti dalla retroazione progettando opportunamente il controllore, questo genere di disturbi si ripercuote interamente sull'uscita . Tornando all'esempio del serbatoio, perché il sistema di controllo mantenga con buona approssimazione il livello del liquido attorno al valore desiderato è necessario scegliere un buon galleggiante o un buon trasduttore di livello.
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