I fondamenti matematici per capire le armoniche : serie di Fourier , spettro e distorsione armonica totale THD

Dopo l'articolo di introduzione sulle armoniche negli impianti elettrici , in questo approfondimento cercheremo di illustrare le basi matematiche che stanno dietro la trattazione e alcune definizioni riguardanti le armoniche stesse.

Gli strumenti matematici che stanno alla base di tutta l'analisi armonica sono il teorema di Fourier e la serie di Fourier. Ricordiamo che il problema delle armoniche negli impianti elettrici è dato da una deformazione della forma d'onda della corrente e della tensione  , deformazione dovuta alla presenza di carichi non lineari , rispetto alla forma d'onda perfettamente sinusoidale che ci aspetteremmo nel caso ideale di carichi lineari . La forma d'onda resta comunque periodica , ovvero è rappresentata da una funzione f(t) tale che f(t+T)=f(t) dove T è il appunto il periodo . Dal periodo T si ricava la pulsazione come ω = 2π/T .

Ora il teorema di Fourier ci dice che una funzione periodica di periodo T e di pulsazione ω può sempre essere scomposta in una serie infinita di funzioni sinusoidali , detta appunto serie di Fourier . Esistono diverse forme per la serie di Fourier , quella adottata in elettrotecnica è la forma polare , che associa a ciascuna sinusuoide un'ampiezza Yn e una fase Φn .

La serie di Fourier , in questa forma , è descritta dalla formula seguente : 

y(t) = Y0 + Σn=1n=∞ Yn * sen ( n*ω*t - Φ)

Andando a rappresentare su un grafico in cui sulle ascisse c'è la pulsazione o frequenza di ciascuno dei termini di tale serie ( che essendo ωn=n*ω è un multiplo della pulsazione della fondamentale ω ) e sulle ordinate sono riportate le ampiezze Yn si ottiene il cosiddetto spettro di ampiezza. Analogamente riportando sulle ordinate le fasi Φn si ha lo spettro di fase .

Osservando lo spettro di ampiezza , sia della tensione che della corrente , si hanno notevoli informazioni sulla presenza delle armoniche e sulla qualità dell'energia nell'impianto considerato : nella situazione ideale di tensione e corrente perfettamente sinusoidale , infatti , l'unica componente con ampiezza non nulla è Y1 , detta armonica fondamentale o prima armonica. Viceversa , più la qualità dell'energia è distorta o inquinata , più le ampiezze delle armoniche successive saranno presenti e di valore non trascurabile.

Un parametro che fornisce subito una valutazione della presenza delle armoniche mediante un valore numerico , quindi con un contenuto informativo meno vario ma più sintetico e di notevole importanza per i riferimenti normativi , è la distorsione armonica totale THD , che viene calcolata come :

THD = ( √ Σn=2n=∞ Yn2 ) / Y1

In pratica si tratta di una misura dei valori efficaci delle armoniche di ordine da 2 a ∞ comparate rispetto al valore efficace fondamentale. Notare che in caso di assenza di armoniche il THD è nullo.

A seconda che le ampiezze siano di tensione o corrente si ottiene la distorsione armonica totale di tensione 

THDV = ( √ Σn=2n=∞ Vn2 ) / V1

e la distorsione armonica totale di corrente 

THDI = ( √ Σn=2n=∞ In2 ) / I1 .

Una classificazione della qualità dell'energia in base ai valori di THDI e THDV può essere la seguente :

- valori di THDinferiori al 10% possono ritenersi accettabili
- valori di THDcompresi tra il 10% e il 50% caratterizzano una distorsione non indifferente che può creare problemi e deve determinare nei progettisti particolari accorgimenti , come il sovradimensionamento dei conduttori
- valori di THDI superiori al 50% determinano una distorsione armonica molto forte e necessitano da parte del progettista di mettere in atto le soluzioni affrontati nell'articolo sulla riduzione delle armoniche ( filtri passivi o attivi a seconda della casistica ).

La distorsione in tensione ha invece limiti di tolleranza decisamente inferiori :

- valori di THDinferiori al 5% possono ritenersi accettabili
- valori di THDcompresi tra il 5% e l'8% caratterizzano una distorsione non indifferente che può creare problemi e deve determinare nei progettisti particolari accorgimenti , come il sovradimensionamento dei conduttori
- valori di THDV superiori all'8% determinano una distorsione armonica molto forte e necessitano di filtraggio .

 

ENG Service - ENerGy & ENGineEriNG
Indirizzo: Monte San Vito (AN) - Ufficio Commerciale H24: (+39) 333 2527289 - Email info@ingegneria-elettronica.com

Questo sito utilizza cookie tecnici e di profilazione propri e di terze parti per le sue funzionalità e per inviarti pubblicità e servizi in linea con le tue preferenze. Se vuoi saperne di più clicca qui.
Chiudendo questo banner, scorrendo questa pagina o cliccando qualunque suo elemento acconsenti all’uso dei cookie.