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Appunti geometria, prof N. Teleman
Aggiornato il: 29Luglio03
 
capitolo
Argomento
pagine
1
Introduzione alla geometria euclidea, assiomi della geometria non euclidea, cenni alle geometrie non euclidee
1-2
2
Teoria degli insiemi, sottoinsiemi, unione ed intersezione, definizione di insiemi uguali, insiemi di numeri, insiemi numerabili e con la potenza del continuo
3-5
3
Funzioni o applicazioni, funzioni iniettive, suriettive, biettive, funzione inversa e immagine inversa, prodotto cartesiano di insiemi, definizione di intervallo
6-7
4
Proprietà fondamentali del campo dei numeri reali, definizione di spazio vettoriale, proprietà degli spazi vettoriali su R di dimensione n
8-10
5
Rette, piani, combinazione lineare di vettori, indipendenza lineare, sottospazi vettoriali, significato geometrico del sottospazio span(v1, ..., vn)
11-12
6
Base di uno spazio vettoriale V, base canonica o base standard, coordinate rispetto a una base B, definizione di sottoinsieme massimale, teorema del completamento
13-15
7
Equazioni implicite ed esplicite (parametriche e cartesiane), equazioni omogenee e non omogenee, sottospazi affini
16-20
8
Definizione di applicazione lineare fra due spazi vettoriali, unicità dell' applicazione lineare rispetto ad una base, matrice associata all'applicazione
21-23
9
Prodotto della matrice associata per un vettore, esempio di matrice associata all' applicazione "proiezione sul piano orizzontale in R^3"
24-25
10
Lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari, somma di due applicazioni lineari e prodotto per uno scalare, nucleo ed immagine di un'applicazione lineare, rango di una matrice e teorema del rango
26-27
11
Somma diretta di sottospazi vettoriali, complemento diretto, somma di sottospazi
28
12
Applicazioni lineari iniettive, suriettive, biettive, monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo, lemmi e teoremi su monomorfismi ed epimorfismi
29-31
13
Isomorfismi, spazi isomorfi, invertibilità degli isomorfismi, composizione di applicazioni lineari, inversa di una applicazione lineare
32-33
14
Sistemi lineari, esistenza delle soluzioni e spazio vettoriale delle soluzioni, teorema di Rouché-Capelli, metodo dell'eliminazione di Gauss, ordine di un sistema lineare, sistemi lineari equivalenti
34-37
15
Somma di due matrici, prodotto di una matrice per uno scalare, iniettività. additività e omogeneità dell'applicazione che associa ad ogni a.l. la sua matrice, prodotto di matrici
38-41
16
Introduzione al significato del determinante, calcolo nel caso di matrice 2x2, definizione generale, regola di Sarrus per il calcolo del determinante, proprietà dei determinanti
42-45
17
Definizione di minore algebrico, primo teorema di Laplace, secondo teorema di Laplace e importanti conseguenze dei due teoremi
46-47
18
Definizione di matrice inversa. spazio duale di uno spazio vettoriale, base duale, applicazione trasposta di una applicazione lineare
48-49
19
Funzionali multilineari antisimmetrici, dimensione dello spazio dei funzional multilineari antisimmetrici, teorema di Binet
50-51
20
Calcolo del rango di matrici, minore di ordine r degenere e non degenere, teorema di Lagrange sul calcolo del rango, metodo di Cramer per la soluzione di sistemi quadrati, teorema di Cramer, matrici simmetriche ed antisimmetriche
52-53
21
Matrice di cambiamento di base, cambiamento di base nelle matrici associate alle applicazioni lineari e negli endomorfismi, definizione di matrici coniugate
54-55
22
Geometria euclidea, prodotto scalare standard e sue proprietà, norma di un vettore e angolo fra due vettori, disuguaglianze di Cauchy-Schwartz, forme bilineari simmetriche, spazio metrico o euclideo, ortogonalità fra vettori, isometria fra due spazi euclidei, diseguaglianza triangolare, base ortonormale, spazio euclideo standard
56-59
23
Teorema di Gram-Schmidt e procedimento di ortonormalizzazione
60-62
24
Proiezione di un vettore su una retta, proiezione su un sottospazio di dimensione arbitraria, complemento ortogonale, teorema di Carnot,generalizzazione del teorema di Pitagora in spazi vettoriali metrici di dimensione n
63-65
25
Ortogonalità fra rette in E^2, angolo fra rette, ortogonalità fra un piano e una retta, distanza di un punto da un piano, distanza fra due spazi generici, distanza fra due rette sghembe, luogo dei punti equidistanti da due punti dati
66-67
26
Prodotto vettoriale, proprietà del prodotto vettoriale,matrici associate a prodotti scalari, cambiamento di base in tali matrici, definizione di matrici congruenti
68-69
27
Forme quadratiche, identità del parallelogramma, matrice associata a una forma quadratica, forma canonica, forma quadratica definita positiva
70-71
28
Trasformazioni ortogonali, matrici ortogonali
72-74
29
Spazi vettoriali sul campo dei complessi e prodotti hermitiani, matrice associata a un prodotto hermitiano, matrici aggiunte e autoaggiunte
75-77
30
Teorema di rappresentazione di Riesz, teorema sull'esistenza dell'aggiunta, applicazione aggiunta, spettro di una matrice, teorema spettrale complesso
78-79
31
Autovalori, autovettori, esistenza e ricerca degli autovalori di un endomorfismo, polinomio caratteristico e sue proprietà, diagonalizzazione di un endomorfismo, teorema spettrale reale
80-82
32
Endomorfismi associati a forme quadratiche, riduzione alla forma canonica di forme quadratiche, classificazione delle forme quadratiche in base alla matrice diagonale: definite positive e negative, semidefinite positive e negative, degeneri
83-84
33
Le coniche: ellisse, iperbole, parabola, coniche degeneri e non degeneri, passaggio alle coordinate omogenee, riconduzione alla forma canonica, classificazione in base alla forma quadratica "contenuta"
85-89
34
Quadriche in E^3 e loro classificazione in base agli autovalori: elissoide, cono, iperboloide, cilindro, paraboloide, coordinate omogenee
90-93
 

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