Il Lemma del Mapping e il Criterio di Nyquist

Il lemma del Mapping e il Criterio di Nyquist

 
L'approccio allo studio della stabilità presentato nel paragrafo precedente presenta due svantaggi sostanziali :

1) Richiede la conoscenza esplicita della W(s) a ciclo chiuso , o almeno del suo denominatore ( il polinomio caratteristico ), così da poterne calcolare i poli . Il criterio che andremo or ora a formulare si basa invece sul Diagramma di Nyquist della F(s) , cioè della funzione di trasferimento in catena aperta ( se consideriamo la presenza del processo P(s), del controllore G(s) e della costante di retroazione K si ha F(s)=K*G(s)*P(s) ). Il diagramma di Nyquist (detto anche diagramma polare ) di una funzione razionale F(s) è il luogo degli estremi del vettore P(jw) , rappresentato sul piano Re[P(jw)],Im[P(jw)] , per w che varia da  a  ; si può quindi costruire sperimentalmente osservando la risposta in frequenza della catena di blocchi che costituiscono l'anello aperto del sistema di controllo. 

2) Non è orientato alla sintesi dei sistemi di controllo a controreazione ; il metodo che andremo a trattare ora , invece , fornisce indicazioni immediate sulle modifiche da apportare alla F(s) ( e quindi al controllore) perché il sistema a ciclo chiuso risulti più o meno vicino al limite dell'instabilità : queste anticipazioni saranno più chiare quando si sarà esaminato l'effetto del guadagno ( o dell'aggiunta di un integratore o di un derivatore) sul diagramma di Nyquist.

Relazione fra il polinomio caratteristico in catena aperta ed il polinomio caratteristico a ciclo chiuso

TEOREMA1: Fra il polinomio caratteristico a ciclo chiuso  e quello in catena aperta sussiste la relazione:

DIMOSTRAZIONE : Indicando con  la funzione di trasferimento sul ramo diretto, si avrà che la f.d.t in catena aperta è  e la f.d.t. a ciclo chiuso è  . 
Si è definito  il denominatore della W(s) , cioè il polinomio caratteristico a ciclo chiuso. In base a questa definizione, quando si va a calcolare 1+F(s) , si ottiene proprio :  .

Un metodo per determinare il numero di poli e zeri entro il piano Re[s]>0

Indicando con Zap il numero di radici a parte reale positiva di  e con Zch il numero di radici a parte reale positiva di  , enunciamo un teorema, detto Lemma del Mapping, che permette di determinare N=Zch-Zap dal diagramma di Nyquist di 1+F(s) . Il lemma sarà enunciato per una funzione razionale fratta G(s) qualsiasi, dotata di un certo numero di poli P e zeri Z racchiusi in un'opportuna regione del piano complesso : scegliendo poi come regione il semipiano Re>0 e come G(s) la 1+F(s) ( che ha a numeratore  e a denominatore  , per cui Z=Zap e P=Zch ) si utilizzerà il lemma per derivare un criterio di stabilità.
LEMMA DEL MAPPING : Data una funzione razionale G(s) e una curva chiusa C del piano di Gauss Re[s],Im[s] , la differenza N fra il numero di zeri Z e il numero di poli P racchiusi dalla curva G è pari al numero di giri che l'immagine C1 di C , secondo G(s) , compie attorno all'origine del piano Re[w=G(s)],Im[w=G(s)]. La curva C deve essere semplice e non deve contenere né poli né zeri di G(s).
Figura 1 : Significato grafico del Lemma del Mapping
DIMOSTRAZIONE INTUITIVA DEL LEMMA DEL MAPPING : Questa "dimostrazione" non costituisce una prova rigorosa del lemma del mapping , ma intende semplicemente presentare in modo intuitivo il significato del lemma del Mapping in una situazione particolarmente semplice , come quella di una G(s) con soli poli e zeri semplici.

Fattorizzando il numeratore ed il denominatore della G(s) nella forma:


la fase di w=G(s) è data dalla somma algebrica delle fasi dei vettori:

.
Immaginiamo di far compiere ad s un giro completo sulla curva C e osserviamo come variano la fase di questi vettori ; si possono osservare tre diversi comportamenti , a seconda che : 

1) i poli o gli zeri siano esterni rispetto alla curva C : in questo caso, al termine di un giro completo di s su C , la fase dei termini  e  ha riassunto il valore iniziale , come mostrato in figura 2. I poli e gli zeri esterni alla curva C non danno quindi contributo alla variazione della fase di G(s) sul piano immagine, al termine di un giro completo.
Figura 2 : Il contributo alla variazione di fase di G(s) dovuto ad uno zero ( o ad un polo) che si trova all'esterno della regione considerata

2) gli zeri siano interni alla curva C : come mostrato in figura 3 , quando s ha percorso un giro completo su C in senso antiorario, il vettore  ha subito una variazione di fase pari a .

3) i poli siano interni alla curva C : vale lo stesso ragionamento del punto precedente, con la differenza che la variazione di fase dovuta a  si sottrae nel computo della fase di G(s) , quindi il contributo è pari a -.
Complessivamente quindi, la fase di G(s) , per s che compie un giro completo sulla curva C , ha subito una variazione pari a :


ovvero ha compiuto un numero di giri in senso antiorario attorno all'origine di di Re[G(s)],Im[G(s)] pari a :

N=Z-P
PARTICOLARIZZAZIONE DEL LEMMA DEL MAPPING PER LO STUDIO DELLA STABILITA' DEI SISTEMI A CICLO CHIUSO: L'enunciato del lemma del mapping vale per tutte le funzioni razionali G(s) e per tutte le curve semplici , chiuse , che non incontrano poli e zeri della G(s) ; si tratta a questo punto di applicarlo a una G(s) e ad un curva C che permettano di derivare un criterio di stabilità asintotica ( nessun polo a ciclo chiuso con parte reale positiva ) : 
1) Essendo interessati a N=Zch-Zap , la funzione G(s) scelta è , per quanto detto nel teorema1, 1+F(s). In particolare , il numero di giri che 1+F(s) compie attorno all'origine del piano complesso è pari al numero di giri che F(s) compie attorno al punto -1+J0 del piano immagine, detto punto critico
2) Essendo interessati ad una curva C che racchiuda al proprio interno il semipiano Re>0 ( siamo interessati al numero di poli instabili a ciclo chiuso ) , scegliamo l'asse immaginario , percorso nel senso di jw crescente , completato da una semicirconferenza di raggio infinito che racchiude il semipiano Re>0 , come indicato in figura 4. Questo percorso viene anche detto cammino di Nyquist.
la semicirconferenza adottata per tracciare il sistema di Nyquist
DERIVAZIONE DEL CRITERIO DI NYQUIST DAL LEMMA DEL MAPPING : Ricordando la definizione di Diagramma di Nyquist , l'immagine secondo F(s) della curva appena descritta è proprio il diagramma di Nyquist di F(s) . Osservando quindi quanti giri questo diagramma compie attorno al punto critico -1+j0 , possiamo risalire a N=Zch-Zap. Ma in fase di sintesi Zap è nota , perché siamo noi che stiamo progettando la F(s) , pertanto conosciamo anche Zch=N+Zap. Imponendo che Zch=0 ( il sistema a ciclo chiuso è stabile solo se non ha poli a parte reale positiva ) , perveniamo al Criterio di Nyquist , che impone di verificare la condizione N=-Zap .

Criterio di Stabilità asintotica di Nyquist

CRITERIO DI NYQUIST NEL CASO GENERALE : Condizione necessaria e sufficiente perché un sistema con controreazione unitaria , caratterizzado da una f.d.t. ad anello aperto F(s) , sia asintoticamente stabile è che il diagramma di Nyquist di F(s) compia un numero di giri in senso antiorario attorno al punto critico -1+j0 pari al numero di poli a parte reale positiva di F(s) [N=-Zap] . Se il ramo di retroazione è costituito da una costante di trasduzione k , i giri da considerare sono attorno al punto -1/k+j0.
CRITERIO DI NYQUIST NEL CASO DI FUNZIONE DI TRASFERIMENTO AD ANELLO APERTO STABILE : Inizialmente il criterio di Nyquist fu formulato per sistemi asintoticamente stabili ad anello aperto , cioè caratterizzati da Zap=0 . In questa versione è noto anche come Criterio di Nyquist ridotto e afferma che : condizione necessaria e sufficiente perché un sistema con F(s) stabile sia asintoticamente stabile anche a ciclo chiuso è che il diagramma di Nyquist di F(s) non circondi il punto critico -1+j0 ( -1/k+j0 se il ramo inverso è caratterizzato da una costante di retroazione k ).

ENG Service - ENerGy & ENGineEriNG
Indirizzo: Monte San Vito (AN) - Ufficio Commerciale H24: (+39) 333 2527289 - Email info@ingegneria-elettronica.com