I diagrammi di Bode




 
I diagrammi di Bode consistono nella rappresentazione di modulo e fase della funzione di trasferimento al variare della frequenza del segnale di ingresso. Rispetto ai diagrammi polari o di Nyquist , presentano due sostanziali differenze:

1) fanno riferimento alla rappresentazione geometrica dei numeri complessi ( modulo e fase ) , mentre i diagrammi di Nyquist presentano sull'asse delle ascisse e su quello delle ordinate rispettivamente parte reale e parte immaginaria ( rappresentazione algebrica )

2) presentano la frequenza ( o la pulsazione ) come variabile indipendente sull'asse delle ascisse , mentre nei diagrammi polari la pulsazione parametrizza la curva. Inoltre , per semplificare la rappresentazione grafica, l'asse delle ascisse ha scala logaritmica :

con da scegliere in base alle costanti di tempo del sistema da analizare ( solitamente 1 rad/s) . Anche l'asse delle ordinate , per il diagramma del modulo , ha scala logaritmica espressa in decibel :

Nel diagramma della fase, invece , l'asse delle ordinate ha scala lineare e vi si riporta in gradi o radianti.

Tracciare i diagrammi di Bode

A differenza dei diagrammi di Nyquist, i diagrammi di Bode si prestano abbastanza facilmente ad essere tracciati quantitativamente senza il ricorso a sistemi di calcolo automatico , grazie soprattutto a due semplificazioni:
1) Il diagramma di Bode di una funzione di trasferimento si può costruire come sovrapposizione dei diagrammi di Bode dei singoli contributi : costante moltiplicativa, derivatori , integratori, poli e zeri semplici, coppie di poli e zeri complessi coniugati. Per la fase, come si è visto nella dimostrazione del lemma del mapping, vale la sovrapposizione degli effetti : se F(s) è nella forma

allora la fase della F(s) vale :
;
Per quanto riguarda il modulo, invece, la sovrapposizione degli effetti è dettata dall'utilizzo dei dB ; per le proprietà dei logaritmi , infatti , il prodotto dei moduli dei singoli contributi si traduce nella somma dei singoli contributi, espressi in dB :
2)
I diagrammi di Bode dei singoli contributi si possono tracciare in modo qualitativo con tratti spezzati, ricorrendo poi a dei diagrammi di correzione per risalire all'andamento quantitativamente corretto , mostrati in figura 1 per il caso di una coppia di zeri ( o poli , basta invertire l'asse delle ordinate ) complessi coniugati.
  Figura 1a: Le correzioni da apportare al diagramma approssimato della fase di una coppia di zeri complessi coniugati Figura 1b: Le correzioni da apportare al diagramma approssimato del modulo di una coppia di zeri complessi coniugati
Di seguito sono riportati i diagrammi di Bode ( esatti ed approssimati , o asintotici ) dei singoli contributi che si possono presentare nel tracciare il diagramma complessivo di una qualsiasi funzione di trasferimento :
a)
costante moltiplicativa : esprimendo F(s) come prodotto di fattori , la costante k da luogo ad un modulo in dB pari a e ad una fase che vale :
a1) 0 se k>0 ( come mostrato con il tratto blu in figura 2 )
a2) -180° se k<0 ( come mostrato con il tratto rosso in figura 2)
  Figura 2 : il contributo ai diagrammi di Bode della costante moltiplicativa
b)
Zeri nulli : ciascun derivatore da un contributo rettilineo ( su scala logaritmica ) per quanto riguarda il modulo , con pendenza pari a 20dB/decade e un contributo alla fase pari a 90░ ; ricordando come si calcola il modulo di un numero complesso , si ha infatti :
;
ricordando invece come si calcola la fase, e notando che la parte reale del termine derivarore Ŕ nulla, si ha :
.
in figura 3 sono rappresentati un derivatore semplice in blu ( 20dB/dec e 90░ ), un derivatore doppio in rosso ( 40dB/dec e +180░ di sfasamento) e un triplo polo zero in verde ( 60dB/dec e 270░ di sfasamento in anticipo ).
  Figura 3 : I diagrammi di Bode dei derivatori
c)
poli nulli : con considerazioni simili a quelle viste per il derivatore, si può dimostrare che ciascun iintegratore contribuisce al modulo della funzione di trasferimento con un termine rettilineo a pendenza negativa di -20dB/decade e alla fase con un contributo costante di -90° ; in figura 3 sono rappresentati un integratore semplice in blu ( -20dB/dec e -90° ), un integratore doppio in rosso ( -40dB/dec e -180° di sfasamento) e un triplo polo nullo in verde ( -60dB/dec e -270° di sfasamento in anticipo ).
  Figura 5 : i diagrammi di Bode degli integratori
d)
zeri reali non nulli : in figura 6 sono riportati il contributo al modulo e alla fase di un zero reale non nullo ; in rosso è riportato l'andamento di uno zero negativo, in blu quello di uno zero positivo. In celeste è invece riportato l'andamento del diagramma di bode approssimato , detto anche diagramma di Bode asintotico, che approssima l'andamento della fase e del modulo con delle spezzate. I diagrammi asintotici approssimano con buona precisione i diagrammi reali alle alte frequenze e alle basse frequenze , mentre intorno alla frequenza naturale dello zero introducono un errore massimo di 3dB per il modulo e di 5.7° per la fase . Matematicamente le approssimazioni sono spiegate dai seguenti passaggi : l'espressione del modulo in dB è
, dove si è definito , e:

d1) alle basse frequenze , per cui il modulo è pressoché nullo
d2) alle alte frequenze e si è visto, analizzando il contributo del derivatore, che tale espressione corrisponde ad una pendenza positiva di 20dB/decade.
L'espressione della fase è invece :
e :

d1) alle basse frequenze
d2)alle alte frequenze
In caso di poli e zeri multipli , le pendenze del contributo del modulo e le fasi alle basse frequenze si sommano.
  Figura 6: I diagrammi esatti e asintotici di uno zero reale non nullo
e)
poli reali non nulli : per i poli reali non nulli valgono considerazioni simili a quelle viste per gli zeri non nulli. In figura 7 sono riportati gli andamenti reali per polo negativo ( rosso ) e polo positivo ( blu ) , mentre in celeste è riportato il diagramma asintotico costruito mediante spezzate. Va notato che , mentre nel diagramma del modulo di uno zero non nullo, la spezzata resta costantemente al di sotto dell'andamento esatto , per cui la correzione da apportare è di +3dB in corrispondenza di , nel diagramma del polo è l'andamento reale ad essere minorato dalla spezzata, per cui la correzione da apportare è di -3dB. Come per lo zero, inoltre, la pendenza della seconda spezzata si raddoppia nel caso di polo doppio ( -40dB/decade ) si triplica per per polo triplo ( -60dB/decade ), ecc..
  Figura 7: I diagrammi di Bode esatti ed asintotici di un polo reale non nullo
 

Rilevare margine di fase e margine di guadagno sui diagrammi di Bode

Come nei diagrammi di Nyquist, il margine di fase ed il margine di guadagno hanno un immediato significato geometrico anche nei diagrammi di Bode. A differenza dei diagrammi polari, per˛, nei diagrammi di Bode Ŕ pi¨ agevole valutare quantitativamente queste due grandezze.
1) Il margine di guadagno può essere valutato in due semplici passi, che sono rappresentati in figura 8:
1a) Si individua della pulsazione , definita dall'equazione , come intersezione fra il diagramma della fase e la linea tratteggiata verde in figura ;
1b) Si valuta , sul diagramma del modulo, l'ampiezza del segmento congiungente ( lungo la verticale ) l'asse 0dB (linea tratteggiata celeste ) con il diagramma stesso. Se il segmento è contenuto nel semipiano dB<0 , il margine è positivo, altrimenti il margine di guadagno è negativo.

2) Il margine di fase può essere può essere ricavato con una procedura simile :

2a) Si individua la pulsazione , definita in precedenza come , dall'intersezione fra il diagramma del modulo e la linea tratteggiata celeste ( asse delle ascisse del primo diagramma , corrispondente ad una retta a modulo costante 0dB )
2b) Si valuta l'ampiezza del segmento che congiunge , nel grafico della fase , il punto del diagramma in tale frequenza con la retta a fase costante -180° : il margine va considerato positivo se il punto si trova sopra la retta , negativo altrimenti.
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Bibliografia:
G. Franklin, J.D.Powell,A.Emami-Naeni - Feedback Control of Dynamical Systems - Ed. Addison Wesley
Giovanni Marro - Controlli automatici - Zanichelli Editore
Alberto Isidori - Sistemi di Controllo - Editrice Siderea
Tommaso Leo - Dispense del Corso di Controlli Automatici - Università Politecnica delle Marche, A.A. 2003/04
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