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Appunti Analisi matematica I, prof A. Bianchini
Aggiornato il: 29Luglio03
 
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1 Insiemi di numeri, teoria degli insiemi, operazioni fra insiemi:insieme vuoto, insiemi complementari, applicazioni e funzioni, insieme immagine, funzioni iniettive, suriettive, biettive, insiemi infiniti 1-3
2 Funzione identica e immersione, prodotto cartesiano e grafico di una funzione, relazioni di equivalenza e classi di equivalenza, insieme quoziente, relazione d'ordine e insiemi ordinati: massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore 4-6
3 Gruppi, corpi, campi. definizione assiomatica del campo dei numeri reali, proprietà rispetto alla somma e al prodotto, proprietà rispetto all'ordinamento 7-8
4 Funzione valore assoluto, assioma di completezza, intervalli limitati, il sistema esteso dei numeri reali e gli intervalli illimitati, struttura del sistema esteso dei numeri reali, funzione parte intera, radici n-sime dei numeri reali positivi 9-10
5 Principio di induzione matematica, insiemi equipotenti, insiemi infiniti, insiemi numerabili, potenza del continuo, definizione di fattoriale e coefficiente binomiale 11-12
6 Il campo dei numeri complessi, l'unità immaginaria i, forma algebrica dei numeri complessi, modulo di un numero complesso, rappresentazione geometrica dei numeri complessi, forma trigonometrica, operazioni in forma trigonometrica, radici n-sime di numeri complessi 13-16
7 Successioni di numeri reali, definizione di una successione per induzione, successioni limitate superiormente ed inferiormente, successioni crescenti, decrescenti, monotone, successione estratta da una data, proprietà verificate definitivamente da una successione 17-18
8 Limiti di una successione reale, successioni convergenti, divergenti positivamente, divergenti negativamente, successioni regolari e non regolari, teoremi e proprietà dei limiti di successioni, raccolta di limiti notevoli 19-23
9 Teoremi sulle successioni monotone, media aritmetica e media geometrica di una successione, teoremi sulle medie geometriche e sulle medie aritmetiche 24-26
10 Criterio di convergenza di Cauchy, teorema di Bolzano-Weiestrass, assioma della completezza, massimo limite e minimo limite di una successione, relazione fra massimo limite e minimo limite 27-29
11 Funzioni reali di variabile reale, funzioni crescenti e decrescenti, funzioni superiormente ed inferiormente limitate, estremo superiore ed estremo inferiore di una funzione, massimo e minimo di una funzione, definizione di grafico di una funzione reale di variabile reale, funzioni pari e dispari, esempi di grafici 30-33
12 Limiti delle funzioni reali di variabile reale, funzione convergente, divergente positivamente e negativamente in un punto e all'infinito, teorema del collegamento, teoremai dei carabinieri, teorema della permanenza del segno, definizione di intorno 34-36
13 Limite destro e limite sinistro, criterio di convergenza di Cauchy, teoremi sulle funzioni monotone, funzioni continue, classificazione delle discontinuità, proprietà delle funzioni continue, permanenza del segno, continuità delle funzioni composte 37-40
14 Funzioni continue su un compatto, teorema di Weiestrass sull'esistenza del massimo e del minimo teorema sull'esistenza degli zeri,teorema sui valori intermedi 41
15 Uniforme continuità, teorema di Cantor, estensione del teorema a intervalli aperti e illimitati, asintoti obliqui e asintoti orizzontali,funzioni lipschitziane, asintoti obliqui nelle funzioni pari e dispari, funzioni inverse e loro continuità 42-45
16 Infinitesimi, infinitesimi simultanei e loro confronto, principio di sostituzione degli infinitesimi, parte principale di un infinitesimo rispetto ad uno di ordine inferiore 46-47
17 Derivate delle funzioni reali, rapporto incrementale, derivata destra e derivata sinistra, significato geometrico del rapporto incrementale e della derivata, retta limite, linearizzazione di una funzione e differenziabilità, teorema del differenziale 48-49
18 Regole di derivazione, dervata della somma, derivata del prodotto, derivata del reciproco, derivata del rapporto, derivate di funzioni composte e di funzioni inverse, derivate successive, classe delle funzioni derivabile 50-51
19 Funzione esponenziale, funzione logaritmo, funzione esponenziale di base qualsiasi, proprietà della funzione a^x, logaritmo in base a, funzione potenza ad esponente reale, funzioni iperboliche 52-55
20 Teoremi di Rolle, Teorema di Cauchy, Teorema di Lagrange, significato geometrico del teorema di Lagrange corollari del teorema di Lagrange, lipschitzianità di funzioni con derivata limitata 56-57
21 Teoremi di L'Hopital sulle forme indeterminate, riconducibilità di altre forme indeterminate al rapporto di infiniti o infinitesimi 58-60
22 Formula di Taylor per un polinomio, formula di Taylor generale, resto nella forma di Peano, resto nella forma di Lagrange, Taylor nell'origine o sviluppo di Mc Laurin 61-62
23 Crescenza e decrescenza puntuale, punti di massimo e minimo relativo e teoremi connessi, concavità e convessità in un punto, significato geometrico, concavità e convessità in un intervallo, teoremi connessi 62-65
24 Serie numeriche, serie convergenti, serie divergenti positivamente, divergenti negativamente, serie indeterminate, carattere di una serie, serie geometrica, criterio generale di convergenza, resto ennesimo 66-68
25 Serie a termini postivi, teorema sulle serie a termini positivi, criterio del confronto, serie minorante e serie maggiorante, criterio dell'ordine di infinitesimo, criterio della radice, criterio del rapporto, serie convergenti assolutamente 69-71
26 Serie a segni alternati, criterio di Leibniz sulle serie a segni alternati, proprietà associativa delle serie numeriche, riordinamento dei termini, validità della proprietà commutativa, convergenza incondizionata, sooma di serie, prodotto secondo Cauchy 72-73
27 Teoria dell'integrazione, considerazioni intuitive, partizioni, estremo superiore ed estremo inferiore della partizione, somma superiore e somma inferiore, definizione di funzione integrabile secondo Riemann 74-76
28 Criteri di integrabilità, integrabilità di funzioni continue, integrabilità secondo Riemann di funzioni monotone, integrale come limite delle somme sigma, 77-78
29 Linearità dell'integrale, teorema della media integrale, additività dell'integrale, integrabilità di funzioni composte, integrabilità del prodotto di funzioni 79-80
30 L'integrale definito, additività e monotonia, la funzione integrale, teorema fondamentale del calcolo integrale, teorema sulle primitive di una funzione, formula fondamentale del calcolo integrale 81-83
31 Integrali indefiniti, integrazione indefinita per decomposizione, regola di integrazione per parti, regola di integrazione per sostituzione, integrali di funzioni razionali fratte, metodo dei residui, tavola degli integrali elementari 84-92
32 Integrali impropri, criterio di Cauchy per la funzione integrale, criterio del confronto, integrale improprio assolutamente convergente, criterio di convergenza assoluta, studio dell'esistenza dell'integrale improprio 93-94
33 Integrale improprio esteso ad intervalli aperti, integrale improprio esteso ad intervalli illimitati, criterio di Cauchy e del confronto asintotico, studio delle funzioni integrali 95-97
34 Successioni di funzioni, successioni convergenti puntualmente, successione uniformemente convergente, criterio di convergenza uniforme di Cauchy, conseguenze della uniforme convergenza: passaggio al limite sotto il segno di derivata e sotto il segno di integrale 98-100
35 Serie di funzioni, serie convergente puntualmente ed uniformemente, resto ennesimo di una serie, criterio di Cauchy per la convergenza uniforme, passaggio al limite sotto il segno di derivata e di integrale 101-02
36 Serie di Taylor per funzioni indefinitamente derivabili, criterio del termine complementare, condizione sufficiente alla sviluppabilità, 103
37 Serie di potenze, raggio di convergenza, intervallo di convergenza, criteri di convergenza per serie di potenze: criterio del rapporto, criterio della radice, teorema di Abel 104-05
     
 

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